Question

15．在竖直平面内，一根光滑金属杆弯成如图1所示形状，相应的曲线方程为y=5.0cos（kx+$\frac{2π}{3}$）（单位：m），式中k=$\frac{1}{5}$m^-1，杆足够长，图中只画出了一部分．将一质量为m=1.0kg的小环（可视为质点）套在杆上，取g=10m/s²．

（1）若使小环以v₁=10m/s的初速度从x=0处沿杆向下运动，求小环运动到x=$\frac{5π}{3}$（m）处时的速度的大小；
（2）一般的曲线运动可以分成许多小段，每一小段都可以看成圆周的一部分，即把整条曲线用系列不同的小圆弧代替，如图2所示，曲线上A点的曲率圆的定义为：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点做一圆，在极限的情况下，这个圆叫做A点的曲率圆．其半径ρ叫做A点的曲率半径．若小环从x=0处以v₂=5$\sqrt{10}$m/s的速度出发沿杆向下运动，到达轨道最低点P时杆对小环的弹力大小为70N，求小环经过轨道最高点Q时杆对小环的弹力多大．

Answer 1

分析 （1）先据曲线方程求出小环运动到x=$\frac{5π}{3}$（m）时的高度，再据机械能守恒求出该点的速度．
（2）先据机械能守恒和牛顿运动定律求出再低点的曲率半径，再利用机械能守恒和牛顿运动定律求出最高点时与杆的作用力．

解答 解：（1）由曲线方程可知：环在x=0处的y的坐标是：y=-$\frac{5}{2}$m，
x=$\frac{5π}{3}$m时，y=5cos（kx+$\frac{2}{3}$π）=5cos（$\frac{1}{5}$×$\frac{5}{3}$π+$\frac{2}{3}$π）=-5m，
由动能定理得：mg（5-$\frac{5}{2}$）=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv₀²，代入数据解得：v=5$\sqrt{6}$m/s；
（2）小环从x=0到p过程，由动能定理得：
mg（5-$\frac{5}{2}$）=$\frac{1}{2}$mv_P²-$\frac{1}{2}$mv₂²，代入数据解得：v_P=10$\sqrt{3}$m/s，
在p点，由牛顿第二定律得：F_N-mg=m$\frac{{v}_{P}^{2}}{ρ}$，代入数据解得：ρ=5m，
小环从p到Q过程，由动能定理得：mg×（-10）=$\frac{1}{2}$mv_Q²-$\frac{1}{2}$mv_P²，
代入数据解得：v_Q=10m/s；
在Q点，由牛顿第二定律得：F_N1+mg=m$\frac{{v}_{Q}^{2}}{ρ}$，
代入数据解得：F_N1=10N；
答：（1）若使小环以v₁=10m/s的初速度从x=0处沿杆向下运动，小环运动到x=$\frac{5π}{3}$（m）处时的速度的大小为5$\sqrt{6}$m/s；
（2）小环经过轨道最高点Q时杆对小环的弹力为10N．

点评 本题和数学的上的方程结合起来，根据方程来确定物体的位置，从而利用机械能守恒来解题，题目新颖．