Question

20．如图所示，半径为R的光滑圆形轨道固定在竖直面内．小球A、B质量分别为m、3m（β为待定系数）．A球从左边与圆心等高处由静止开始沿轨道下滑，与静止于轨道最低点的B球相撞，碰撞中无机械能损失，重力加速度为g．试求：
（Ⅰ）第一次碰撞后A、B球能达到的最大高度各为多少？
（Ⅱ）小球A、B在轨道最低处第二次碰撞刚结束时各自的速度，并讨论小球A、B在轨道最低处第n次碰撞刚结束时各自的速度．

Answer 1

分析 （Ⅰ）（Ⅱ）两小球碰撞后动量守恒，机械能守恒，AB两球上升后机械能守恒，根据机械能守恒定律及动量守恒定律即可求解．

解答 解：（Ⅰ） 由机械能守恒定律知，第一次碰撞前A的速度为${v}_{1}=\sqrt{2gR}$设A、B第一次碰撞后的速度大小分别为v₁′、vv₂′，
mv₁=mv₁′+3mv₂′
$mgR=\frac{1}{2}m{v′}_{1}^{2}+\frac{1}{2}•3m{v′}_{2}^{2}$
解得${v}_{1}′=\sqrt{\frac{gR}{2}}$，向左
${v}_{2}′=\sqrt{\frac{gR}{2}}$向右
由 $\frac{1}{2}mv{′}_{1}^{2}=mgh′$  得${h}_{1}′=\frac{R}{4}$
同理，${h}_{2}′=\frac{R}{4}$
（Ⅱ）设A、B球第二次碰撞刚结束时的速度分别为V₁、V₂，则：
mv₁′-3mv₂′=mV₁+3mV₂
$mgR=\frac{1}{2}m{V}_{1}^{2}+\frac{1}{2}•3m{V}_{2}^{2}$
解得${V}_{1}=-\sqrt{2gR}$，V₂=0
（另一组解：${V}_{1}=\sqrt{\frac{gR}{2}}$，${V}_{2}=-\sqrt{\frac{gR}{2}}$不合题意，舍去）
由此可得：当n为奇数时，小球A、B在第n次碰撞刚结束时的速度分别与其第一次碰撞刚结束时相同；当n为偶数时，小球A、B在第n次碰撞刚结束时的速度分别与其第二次碰撞刚结束时相同．
答：（Ⅰ）第一次碰撞后A、B球能达到的最大高度都是$\frac{R}{4}$；
（Ⅱ）小球A、B在轨道最低处第二次碰撞刚结束时A的速度是$-\sqrt{2gR}$，B的速度是0；当n为奇数时，小球A、B在第n次碰撞刚结束时的速度分别与其第一次碰撞刚结束时相同，分别为$\sqrt{\frac{gR}{2}}$向左，$\sqrt{\frac{gR}{2}}$向右；当n为偶数时，小球A、B在第n次碰撞刚结束时的速度分别与其第二次碰撞刚结束时相同，A的速度是$-\sqrt{2gR}$，B的速度是0．

点评 本题主要考查了机械能守恒定律及动量守恒定律的应用，把握运动的过程，分别对相应的过程列出动量守恒定律和机械能守恒的表达式即可．难度适中．