Question

1．某行星外围有一圈厚度为d的发光带（发光的物质），简化为如图所示模型，R为该行星除发光带以外的半径； 现不知发光带是该行星的组成部分还是环绕该行星的卫星群，某科学家做了精确地观测，发现发光带绕行星中心的运行速度与到行星中心的距离r的关系如图所示（图中所标v₀为已知），则下列说法正确的是（　　）

• A． 发光带是该行星的组成部分
• B． 该行星的质量M=$\frac{{{v}_{0}}^{2}R}{G}$
• C． 行星表面的重力加速度g=$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R}$
• D． 该行星的平均密度为ρ=$\frac{3{{v}_{0}}^{2}}{4Gπ{R}^{2}}$

Answer 1

分析 若光带是该行星的组成部分，则其角速度与行星自转角速度相同．若光带是环绕该行星的卫星群，由万有引力提供向心力，由此列式分析．

解答 解：A、若发光带是行星的组成部分，则角速度与行星的自转的角速度相同，半径越大，线速度越大，与图2不符合，可知发光带不是行星的组成部分，故A错误．
B、发光带是环绕该行星的卫星群，由万有引力提供向心力，则有：$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$，该行星的质量为：M=$\frac{r{v}^{2}}{G}$，由图2知，M=$\frac{{{v}_{0}}^{2}R}{G}$，故B正确．
C、当r=R时有，mg=m$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R}$，解得行星表面的重力加速度g=$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R}$，故C正确．
D、该行星的平均密度为 ρ=$\frac{M}{\frac{4π{R}^{3}}{3}}$=$\frac{3{{v}_{0}}^{2}}{4Gπ{R}^{2}}$，故D正确．
故选：BCD．

点评 本题运用试探法分析，关键要知道光带是该行星的组成部分时，其角速度与行星自转角速度相同．光带是环绕该行星的卫星群时，由万有引力提供向心力．