题目内容
如图所示,两足够长的平行光滑的金属导轨MN、PQ相距为d,导轨平面与水平面的夹角α=30°,导轨电阻不计,磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面向上.长为d的金属棒ab垂直于MN、PQ放置在导轨上,且始终与导轨接触良好,金属棒的质量为m、电阻为R.两金属导轨的上端连接右侧电路,灯泡的电阻R1=3R,电阻箱电阻调到R′=6R,重力加速度为g.现闭合开关S,给金属棒施加一个方向垂直于杆且平行于导轨平面向上的、大小为F=mg的恒力,使金属棒由静止开始运动.
(1)求金属棒达到最大速度的一半时的加速度.
(2)若金属棒上滑距离为L时速度恰达到最大,求金属棒由静止开始上滑4L的过程中,金属棒上产生的电热.
(3)若改变R′的阻值,当R′为何值时,在金属棒达到最大速度后,R′消耗的功率最大?消耗的最大功率为多少?
(1)求金属棒达到最大速度的一半时的加速度.
(2)若金属棒上滑距离为L时速度恰达到最大,求金属棒由静止开始上滑4L的过程中,金属棒上产生的电热.
(3)若改变R′的阻值,当R′为何值时,在金属棒达到最大速度后,R′消耗的功率最大?消耗的最大功率为多少?
分析:(1)金属棒由静止开始先加速度减小的加速运动后做匀速运动时,速度达到最大,根据平衡条件和E=BLvm、I=
、F安=BIL结合求出最大速度vm.当金属棒达到最大速度的一半时,先求出安培力,再由牛顿第二定律求出加速度a.
(2)由题,金属棒达到最大速度时,根据能量守恒定律求出金属棒上产生的电热.
(3)运用P=I2R,结合电路的连接关系得到R′消耗的功率与R′的关系式,运用数学知识求解功率最大值及应满足的条件.
E |
R+r |
(2)由题,金属棒达到最大速度时,根据能量守恒定律求出金属棒上产生的电热.
(3)运用P=I2R,结合电路的连接关系得到R′消耗的功率与R′的关系式,运用数学知识求解功率最大值及应满足的条件.
解答:解:(1)金属棒在图所示各力作用下,先做加速度逐渐减小的加速运动,当加速度为零时,金属棒达到最大速度,此后开始做匀速直线运动.设最大速度为vm,金属棒达到最大速度的一半时的加速度为a,则速度达到最大时有
F=IdB+mgsinα
根据闭合电路欧姆定律得:I=
整个电路的总电阻为 R总=R+
=3R
由以上各式解得:vm=
金属棒达到最大速度的一半时,由牛顿第二定律有
F-I串dB-mgsinα=ma
又 I串=
=
解得:a=
(2)设整个电路放出的电热为Q,由能量守恒定律有:
F?4L=Q+mgsinθ?L+
m
代入上面的vm值,可得:Q=2mgL-
因
=
故金属棒放出的电热Q棒=
Q=
mgL-
(3)R′上消耗的功率P′=I′2R′
并联部分的电阻为 R并=
=
又 I′R′=IR并
I′=
I=
则得:P′=
?
=
?
根据数学知识得知,当
=R′即R′=3R时,上式分母最小,R′消耗的功率最大,为 P′m=
.
答:(1)金属棒达到最大速度的一半时的加速度为
.
(2)金属棒由静止开始上滑4L的过程中,金属棒上产生的电热为
mgL-
.
(3)若改变R′的阻值,当R′=3R时,在金属棒达到最大速度后,R′消耗的功率最大,消耗的最大功率为
.
F=IdB+mgsinα
根据闭合电路欧姆定律得:I=
Bdvm |
R总 |
整个电路的总电阻为 R总=R+
R′RL |
R′+RL |
由以上各式解得:vm=
3mgR |
2B2d2 |
金属棒达到最大速度的一半时,由牛顿第二定律有
F-I串dB-mgsinα=ma
又 I串=
Bdvm |
2R总 |
I |
2 |
解得:a=
g |
4 |
(2)设整个电路放出的电热为Q,由能量守恒定律有:
F?4L=Q+mgsinθ?L+
1 |
2 |
v | 2 m |
代入上面的vm值,可得:Q=2mgL-
9m3g2R2 |
8B4d4 |
因
R |
R总 |
1 |
3 |
故金属棒放出的电热Q棒=
1 |
3 |
2 |
3 |
3m3g2R2 |
8B4d4 |
(3)R′上消耗的功率P′=I′2R′
并联部分的电阻为 R并=
R′RL |
R′+RL |
3RR′ |
R′+3R |
又 I′R′=IR并
I′=
3R |
3R+R′ |
3Rmg |
2(3R+R′)Bd |
则得:P′=
m2g2 |
4B2d2 |
9R2R′ |
(3R+R′)2 |
m2g2 |
4B2d2 |
9R2 | ||
|
根据数学知识得知,当
9R2 |
R′ |
3m2g2R |
16B2d2 |
答:(1)金属棒达到最大速度的一半时的加速度为
g |
4 |
(2)金属棒由静止开始上滑4L的过程中,金属棒上产生的电热为
2 |
3 |
3m3g2R2 |
8B4d4 |
(3)若改变R′的阻值,当R′=3R时,在金属棒达到最大速度后,R′消耗的功率最大,消耗的最大功率为
3m2g2R |
16B2d2 |
点评:本题是电磁感应与力学知识的综合,其桥梁是安培力,要学会推导安培力的表达式,分析棒的运动情况,根据牛顿第二定律和能量守恒处理这类问题.关键要会运用数学上函数法求功率的最大值.
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