Question

【题目】如图所示，一根长为L=0．2m的刚性轻绳，一端固定在O点，另一端连接一个质量为m的小球，当球自由悬挂时，球处在最低点A点，此时给球一个水平初速度v0让它运动起来，忽略空气阻力，重力加速度。

（1）要保证小球在运动过程中绳子始终不松弛，求v0满足的条件；

（2）若小球在A点获得的水平初速度，试确定小球能上升的最大高度。

Answer 1

【答案】（1）或；（2）

【解析】试题分析：（1）要保证小球在运动过程中绳子始终不松弛，可以使小球做完整的圆周运动，也可以使小球上升到低于O点的高度后就下落。

①当小球刚好做完整的圆周运动时，在最高点重力提供向心力，有

从最低点到最高点，重力做负功，根据动能定理有

可得小球的初速度

②小球恰好能运动到O点等高的位置时，根据动能定理有

可得小球的初速度

由上分析可知，小球的初速度应或

（2）若小球在A点获得的水平初速度，则小球不能上升到最高点，设小球上升到高于圆心O的某个位置时，绳子恰好要松弛，此时绳子与竖直方向夹角为，小球只受重力，速度为。

重力沿半径方向的分力提供向心力，有

由几何关系可知，此过程小球上升高度

根据动能定理有

解得：此时小球速度，

此后小球以速度做斜抛运动，在最高点时竖直方向速度为零，水平方向速度为，

从最低点到最高点，根据动能定理有：

则小球上升最大高度：

或：由上可知，。此后小球以速度做斜抛运动，竖直方向速度为。上升到最高点竖直方向减为零，由可得，小球继续上升的高度。故小球上升最大高度：。