题目内容

【题目】如图所示,半径为R的光滑圆形轨道固定在竖直面内.小球A、B质量分别为m、βm(β为待定系数).A球从左边与圆心等高处由静止开始沿轨道下滑,与静止于轨道最低点的B球相撞,碰撞后A、B球能达到的最大高度均为R,碰撞中无机械能损失.重力加速,碰撞中无机械能损失.重力加速度为g.试求:

(1)待定系数β;

(2)第一次碰撞刚结束时小球A、B各自的速度和B球对轨道的压力;

(3)小球A、B在轨道最低处第二次碰撞刚结束时各自的速度,并讨论小球A、B在轨道最低处第n次碰撞刚结束时各自的速度.

【答案】(1)待定系数β是3;(2)第一次碰撞刚结束时小球A、B各自的速度为 ,方向向左和,方向向右;B球对轨道的压力是4.5mg,方向竖直向下;(3)小球A、B在轨道最低处第二次碰撞刚结束时各自的速度分别是 和0,当n为奇数时,小球A、B在第n次碰撞铡结束时的速度分别与其第一次碰撞刚结束时相同; 当n为偶数时,小球A、B在第n次碰撞铡结束时的速度分别与其第二次碰撞刚结束时相同;

【解析】

试题分析: (1)A球从静止开始下滑到碰撞后A、B球达到的最大高度的过程,由机械能守恒定律得

,解得:β=3

(2)设A、B碰撞后的速度分别为v1、v2,则

设向右方向正,向左为负,解得: ,方向向左; ,方向向右.

设轨道对B球的支持力为FN,B球对轨道的压力为FN′,方向竖直向下为正

则由牛顿第二定律得,解得,FN=4.5mg

由牛顿第三定律得,FN′=-FN=-4.5mg,方向竖直向下.

(3)设A、B两球第二次碰撞刚结束时各自的速度分别为V1、V2

由机械能守恒和动量守恒得

-mv1-βmv2=mV1+βmV2

解得, ,V2=0.(另一组解:V1=-v1,V2=-v2,不合题意,舍去)

由此可得

当n为奇数时,小球A、B在第n次碰撞铡结束时的速度分别与其第一次碰撞刚结束时相同;

当n为偶数时,小球A、B在第n次碰撞铡结束时的速度分别与其第二次碰撞刚结束时相同;

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