Question

6．未来“嫦娥五号”落月后，轨道飞行器将作为中继卫星在绕月轨道上做圆周运动，如图所示．设卫星距离月球表面高为h，绕行周期为T，已知月球绕地球公转的周期为T₀，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，月球半径为r，万有引力常量为G．试求出地球的质量和月球的质量．

Answer 1

分析 卫星绕月球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力求出月球质量；根据地球表面物体重力等于万有引力，即可求解地球质量．

解答 解：地球表面物体的重力等于万有引力，有：
$m′g=G\frac{{M}_{地}^{\;}m′}{{R}_{\;}^{2}}$
解得：${M}_{地}^{\;}=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}$
卫星绕月球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，有：
$G\frac{{M}_{月}^{\;}m}{（r+h）_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}（r+h）$
解得：${M}_{月}^{\;}=\frac{4{π}_{\;}^{2}（r+h）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
答：地球的质量为$\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}$，月球的质量为$\frac{4{π}_{\;}^{2}（r+h）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$

点评 向心力的公式选取要根据题目提供的已知物理量或所求解的物理量选取应用．该类的题目中，运用万有引力提供向心力列出等式．然后应用要结合的圆周运动的知识解决问题．