Question

11．如图所示，在θ=60°的范围内有一方向垂直于xOy平面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，y轴与OC为该磁场的两边界；一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子（不计重力）从y轴的点A（0，L）平行与x轴正方向射入磁场中；
（1）若粒子离开磁场后垂直经过x轴，求粒子的初速度大小v₁及其在磁场中运动的时间t₁；
（2）要使粒子在磁场中运动的时间最长，其初速度大小v₂应满足什么条件？在这种情况下，粒子在磁场中运动的最长时间t₂为多长？
（3）若从A点入射的大量同种粒子，均在xoy平面内运动，粒子的入射方向与y轴负方向的夹角为α（0≤α≤90°），为使粒子从OC边离开磁场时的速度方向均与z轴垂直，粒子的入射速度大小v₀与α之间应满足怎样的关系式？

Answer 1

分析 （1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，运用洛伦兹力提供向心力求出半径公式，再与几何关系联立即可，根据周期公式结合粒子转过的圆心角即可求出粒子在磁场中运动的时间；
（2）找到粒子时间最长的条件，运用周期公式即可求出粒子运动的最长时间，运用洛伦兹力提供向心力求出半径公式，结合临界几何关系即：轨迹与OC相切，粒子速度v₂只要比此时的速度小即可；
（3）任选其中某一粒子，粒子在磁场中做匀速圆周运动，运用洛伦兹力提供向心力求出半径公式，再与几何关系联立即可，

解答 解：（1）粒子进入磁场后做匀速圆周运动，运动了四分之一圆周后离开磁场，将会垂直经过x轴，运动轨迹如图甲所示．

设粒子在磁场中运动的轨道半径为R₁，有：
qv₁B=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{R}_{1}}$
由几何关系有：R₁+$\frac{{R}_{1}}{tanθ}$=L
解得：v₁=$\frac{3qBL}{（3+\sqrt{3）}m}$
由T=$\frac{2π{R}_{1}}{{v}_{1}}$可得粒子在磁场中运动的周期为：
T=$\frac{2πm}{qB}$
粒子在磁场中运动的时间为：t₁=$\frac{1}{4}$T=$\frac{πm}{2qB}$．
（2）经分析可知，当粒子的偏转角为180°时，它在磁场中运动的时间最长
最长的时间为：t₂=$\frac{1}{2}$T=$\frac{πm}{qB}$
此种情形当粒子的运动轨迹恰好与边界OC相切时，粒子的速度最大（设最大速度为v），如图乙所示，

设此时粒子在磁场中运动的半径为R₂，有：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{2}}$
由几何关系有：R₂+$\frac{{R}_{2}}{sinθ}$=L
解得：v=$\frac{3qBL}{（3+2\sqrt{3）}m}$
v₂应满足的条件为：0＜v₂≤$\frac{3qBL}{（3+2\sqrt{3）}m}$．
（3）经分析，可画出粒子在磁场中运动的轨迹如图丙所示，

设轨迹圆的半径为R₃，
因为粒子的入射方向与y轴负方向的夹角为α，显然∠AO'E=α，
根据几何关系可得：R₃sinα+$\frac{{R}_{3}（1-cosα）}{tanθ}$=L
又：qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{R}_{3}}$
解得：[3sinα+$\sqrt{3}$（1-cosα）]v₀=$\frac{3qBL}{m}$．
答：（1）若粒子离开磁场后垂直经过x轴，粒子的初速度大小为$\frac{3qBL}{（3+\sqrt{3）}m}$，其在磁场中运动的时间为$\frac{πm}{2qB}$；
（2）要使粒子在磁场中运动的时间最长，其初速度大小v₂应满足0＜v₂≤$\frac{3qBL}{（3+2\sqrt{3）}m}$，在这种情况下，粒子在磁场中运动的最长时间t₂为$\frac{πm}{qB}$；
（3）为使粒子从OC边离开磁场时的速度方向均与z轴垂直，粒子的入射速度大小v₀与α之间应满足[3sinα+$\sqrt{3}$（1-cosα）]v₀=$\frac{3qBL}{m}$．

点评 本题考查了粒子在匀强磁场中的运动，粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，作出粒子运动轨迹、应用数学知识、周期公式即可正确解题；第三问这类求关系的问题，可以把其中一个量当成已知去表示另一个量即可．