Question

经过天文望远镜长期观测，人们在宇宙中已经发现了许多双星系统，通过对它们的研究，使我们对宇宙中物质的存在形式和分布情况有了较深刻的认识，双星系统由两个星体组成，其中每个星体的大小都远小于两星体之间的距离，一般双星系统距离其他星体很远，可以当作孤立系统来处理（即其它星体对双星的作用可忽略不计）．现根据对某一双星系统的光度学测量确定：该双星系统中每个星体的质量都是m，两者相距L，它们正围绕两者连线上的某一点做匀速圆周运动．
（1）试计算该双星系统的运动周期T₁．
（2）若实际中观测到的运动周期为T₂，T₂与T₁并不是相同的，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种观测不到的暗物质，它均匀地充满整个宇宙，因此对双星运动的周期有一定的影响．为了简化模型，我们假定在如图14所示的球体内（直径看作L）均匀分布的这种暗物质才对双星有引力的作用，不考虑其他暗物质对双星的影响，已知这种暗物质的密度为ρ，求T₁：T₂．

Answer 1

分析：（1）双星绕两者连线的中点做圆周运动，由相互之间万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律求解运动周期．
（2）假定在以这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着暗物质，由暗物质对双星的作用与双星之间的万有引力的合力提供双星的向心力，由此可以得到双星运行的角速度，进而得到周期T₂，联合第一问的结果可得周期之比．

解答：解：（1）两星的角速度相同，故  F=mr1

ω

2 1

；F=mr2

ω

2 1

而  F=G

m?m

L2

可得 r₁=r₂①
两星绕连线的中点转动，则  

Gm2

L2

=m?

L

2

?

ω

2 1

解得  ω1=

2Gm L3

②
所以   T1=

2π

ω1

=

2π

2Gm L3

=2π

L3 2Gm

③
（2）由于暗物质的存在，双星的向心力由两个力的合力提供，则G

m2

L2

+G

mM

( 1 2 L)2

=m?

1

2

L?

ω

2

④
M为暗物质质量，M=ρV=ρ?

4

3

π(

L

2

)3⑤
解④和⑤式得：ω=

2Gm L3 + 4 3 Gρπ

                 ⑥
可求得：T2=

2π

ω

=

2π

2Gm L3 + 4 3 Gρπ

⑦
联立③、⑦式解得

T1

T2

=

2π L3 2Gm

2π 2Gm L3 + 4 3 Gρπ

=

6m+4ρπL3 3M

答：
（1）该双星系统的运动周期T₁．
（2）周期之比为T₁：T₂=

6m+4ρπL3 3M

点评：本题是双星问题，要抓住双星系统的条件：角速度与周期相同，再由万有引力充当向心力进行列式计算即可．