Question

如图所示，长为L的木板A静止在光滑的水平桌面上，A的左端上方放有小物体B（可视为质点），一端连在B上的细绳，绕过固定在桌子边沿的定滑轮后，另一端连在小物体C上，设法用外力使A、B静止，此时C被悬挂着．A的右端距离滑轮足够远，C距离地面足够高．已知A的质量为6m，B的质量为3m，C的质量为m．现将C物体竖直向上提高距离2L，同时撤去固定A、B的外力．再将C无初速释放，当细绳被拉直时B、C速度的大小立即变成相等，由于细绳被拉直的时间极短，此过程中重力和摩擦力的作用可以忽略不计，细绳不可伸长，且能承受足够大的拉力．最后发现B在A上相对A滑行的最大距离为

1

2

L．细绳始终在滑轮上，不计滑轮与细绳之间的摩擦，计算中可认为A、B之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g=10m/s²．
（1）求细绳被拉直前瞬间C物体速度的大小υ₀；
（2）求细绳被拉直后瞬间B、C速度的大小υ；
（3）在题目所述情景中，只改变C物体的质量，可以使B从A上滑下来．
设C的质量为km，求k至少为多大？

Answer 1

（1）C做自由落体运动，下降高度为2L时的速度为v₀，根据v_t²-v₀²=2ax得
v₀=2

gl

（2）此时细绳被拉直，B、C速度的大小立即变成v，设绳子对B、C的冲量大小为I，根据动量定理得
对B   I=3mv
对C-I=mv-mv₀
解得B、C速度的大小v=

gL

2

（3）设C物体的质量为km，A、B之间的动摩擦因数为μ
由（2）可知，细绳被拉直时B、C速度的大小v?=

k

3+k

v0
此后B物体的加速度  kmg-μ?3mg=（3m+km）a₁ 
a1=

kmg-μ?3mg

3m+km

=

k-3μ

3+k

g
A物体的加速度  μ?3mg=6ma₂ 
a2=

μ?3mg

6m

=

μ

2

g
经时间t，B物体的速度        v₁=v'+a₁t
B物体的位移        x1=v′t+

1

2

a1t2
同样，A物体的速度  v₂=a₂t
A物体的位移   x2=

1

2

a2t2
（i）根据题意，若k=1，当v₁=v₂时，x₁-x₂=

L

2

，解μ=0.4；
（ii）要使v₁=v₂时，x₁-x₂=L，利用（i）求得的动摩擦因数μ，
可得k=

9

7

=1.29；
即C物体的质量至少为1.29m时，才可以使B物体从A上滑下来．