Question

8．如图所示，半径为R的光滑半圆环AB竖直固定在光滑水平地面上，质量为m的小球以某一速度v₀从A点进入半圆环，恰好经最高点B水平向左飞出（不计空气阻力）．求：
（1）小球在A点做圆周运动时，小球对轨道的压力大小；
（2）小球从B点飞出时的速度大小；
（3）小球从B点落到水平地面上的C点，水平位移AC的大小．

Answer 1

分析 （1）、（2）由题意，小球恰好能经过最高点B，此时由重力提供小球所需要的向心力，根据牛顿第二定律可求得小球在B点时的速度．从A到B过程，只有重力做功，小球的机械能守恒，即可列式求出小球通过A点时的速度大小．再根据牛顿运动定律求小球对轨道的压力大小．
（3）小球离开B点后做平抛运动，运用运动的分解法即可求得水平位移AC的大小．

解答 解：（1）、（2）因为小球刚好能通过最高点B，所以在最高点刚好又重力提供向心力，由牛顿二定律可得：
  mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
解得：v_B=$\sqrt{gR}$
选取A点所在的水平面为零重力势能面，小球从A到B的过程中机械能守恒，则有：
  $\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$+2mgR
由①②式联立可得：v_A=$\sqrt{5gR}$
在A点，由F-mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$得
 F=6mg
根据牛顿第三定律知小球在A点做圆周运动时，小球对轨道的压力大小 F′=F=6mg
（3）小球做平抛过程的落地时间为t，则有：
  2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
得：t=2$\sqrt{\frac{R}{g}}$
小球做平抛的水平位移：x_AC=v_Bt…⑤
由①④⑤式可得：x_AC=2R
答：
（1）小球在A点做圆周运动时，小球对轨道的压力大小是6mg；
（2）小球从B点飞出时的速度大小是$\sqrt{gR}$；
（3）小球从B点落到水平地面上的C点，水平位移AC的大小是2R．

点评 本题是向心力、机械能守恒和平抛运动的综合，掌握小球通过最高点的临界条件是解题的关键．同时要求我们要正确的对小球进行运动过程的分析和特定位置的受力分析．