Question

如图甲所示，真空中的电极K连续不断地发出电子（电子的初速度可忽略不计），经电压为u的电场加速，加速电压u随时间t变化的图象如图乙所示．每个电子通过加速电场的过程时间极短，可认为加速电压不变．电子被加速后由小孔S穿出，沿两个彼此靠近且正对的水平金属板A、B间中轴线从左边缘射入A、B两板间的偏转电场，A、B两板长均为L=0.20m，两板之间距离d=0.050m，A板的电势比B板的电势高．A、B板右侧边缘到竖直放置的荧光屏P（面积足够大）之间的距离b=0.10m．荧光屏的中心点O与A、B板的中心轴线在同一水平直线上．不计电子之间的相互作用力及其所受的重力，求：
（1）要使电子都打不到荧光屏上，则A、B两板间所加电压U应满足什么条件；
（2）当A、B板间所加电压U'=50V时，电子打在荧光屏上距离中心点O多远的范围内．

Answer 1

电子加速过程中，根据动能定理有：
eU₁=

1

2

mv²
偏转过程中，由牛顿第二定律有：eE=ma
而 E=

U2

d

，L=vt，y=

1

2

at²
有 y=

1

2

?

eU2

md

?（

L

v

）²=

U2L2

4U1d

要使电子都打不到屏上，应满足U₁取最大值800V时仍有y＞0.5d
代入上式可得，U₂=

4U1dy

L2

＞

4U1d?0.5d

L2

=

4×800×0.5×0.052

0．22

V=100V
所以为使电子都打不到屏上，A、B两板间所加电压U₂至少为100V．
（2）当A、B板间所加电压U′=50V时，代入
当电子恰好从A板右边缘射出偏转电场时，
其侧移最大y_max=

1

2

d=

1

2

×0.05m=0.025m．
设电子通过电场最大的偏转角为θ，设电子打在屏上距中心点的最大距离为Y_max，则：
tanθ=

vy

v2

=

at

v

Y_max=y_max+

b

v

v_y=y_max+

bvyt

vt

又y_max=

0+vy

2

t，vt=L
得v_yt=2y_max，联立得Y_max=y_max+

2b

L

y_max=0.025+

2×0.1

0.2

×0.025=0.05m
由第（1）问中的y=

U2L2

4U1d

可知，在其它条件不变的情况下，U₁越大y越小，
所以当U₁=800V时，电子通过偏转电场的侧移量最小，
其最小侧移量，y_min=

U2L2

4U1d

=

U′L2

4U1d

=

50×0．22

4×800×0.05

m=0.0125m
同理，电子打在屏上距中心的最小距离 Y_min=y_min+

2b

L

y_min=0.0125+

2×0.1

0.2

×0.125=0.025m
所以电子打在屏上距中心点O在0.025m～0.05m范围内．
答：
（l）要使电子都打不到荧光屏上，则A，B两板间所加电压U应满足至少为100V条件；
（2）当A、B板间所加电U′=50V时，打到荧光屏上的电子距离中心点O在0.025m～0.05m的范围内．