Question

如图所示，质量为M = 0.60kg的小砂箱，被长L = 1.6m的细线悬于空中某点，现从左向右用弹簧枪向砂箱水平发射质量m = 0.20kg，速度v₀ = 20m/s的弹丸，假设砂箱每次在最低点时，就恰好有一颗弹丸射入砂箱，并留在其中（g=10m/s²，不计空气阻力，弹丸与砂箱的相互作用时间极短）则：
（1）第一颗弹丸射入砂箱后，砂箱能否做完整的圆周运动？计算并说明理由。
（2）第二、第三颗弹丸射入砂箱并相对砂箱静止时，砂箱的速度分别为多大？
（3）停止射击后，要使砂箱做小于5°的简谐运动，射入砂箱中的弹丸数目应满足什么条件？（ 已知cos5^o=0.996，

Answer 1

（1）1.25m<1.6m，不能做完整圆周运动（2）m/s
（3）射入砂箱的子弹数目应为大于 或等于53的奇数

（1）射入第一颗子弹的过程中，根据动量守恒， 
有：   ∴v₁="5m/s                   " （3分）
此后，砂箱和弹丸向上摆动的过程中，最大高度为h，机械能守恒，有：

解得h=1.25m<1.6m
∴不能做完整圆周运动。                               （3分）
（2）第二颗子弹射入过程中，由动量守恒，
     解得：      （3分）
第三颗子弹射入过程中，
         解得m/s          （3分）
（3）设第n颗弹丸射入砂箱后，砂箱速度为v_n，由以上分析可知：
当n是偶数时，v_n="0                                    " （1分）
当n是奇数时，由动量守恒：
                                     （2分）
设射入n颗子弹后，恰好做摆角等于5^o的简谐运动有：
                  
解得                                          （3分）
∴停止射击后，要使砂箱做简谐运动，则射入砂箱的子弹数目应为大于 或等于53的奇数。                                                       （2分）