Question

如图所示，有一柔软链条全长为L=1.0m，质量均匀分布，总质量为M=2.0kg．链条均匀带正电，总带电量Q=1.0×10^-6C、将链条放在离地足够高的水平绝缘桌面上．空间存在竖直向下的匀强电场，电场强度的大小E=2.0×10⁷V/m．若桌面与链条之间的动摩擦因数为μ=0.5，链条在桌面上运动时电量保持不变（重力加速度取g=10m/s²）．给链条一个向右的初动能，试求：
（1）当桌面下的链条多长时，桌面下的链条所受到的重力恰好等于链条受到的滑动摩擦力；
（2）能使链条从桌面上全部滑下所需的最小初动能．

Answer 1

分析：（1）设桌面下的链条长为x，链条质量分布均匀，所以在桌面下的链条的质量为

xM

L

，链条的重心还在桌面上，所以对桌子的压力等于整个链条的重力加上电场力，根据两者相等即可求解；
（2）结合下垂链条受到的重力加上电场力等于滑动摩擦力时，求出下垂的长度，根据动能定理，抓住开始自由下滑时的速度正好为零，根据动能定理即可求解；

解答：解：设桌面下的链条长为x，链条质量分布均匀，所以在桌面下的链条的质量为

xM

L

，则有：

xM

L

g=μ

L-x

L

（Mg+QE），
解得x=0.5 m，
（2）当下垂链条受到的重力加上电场力等于滑动摩擦力时，是能使链条全部从桌面上滑下的临界情况．
根据平衡条件：

x

L

Mg+

x

L

QE=μ(

L-x

L

mg+

L-x

L

QE)
求得：x=

1

3

L=

1

3

m
当链条垂下

1

3

m时，重力+电场力=滑动摩擦力，则如果继续下滑，重力就大于滑动摩擦力了．所以链条下滑

1

3

m后就会自动下滑，链条所需要的最小初动能是能够让它下滑

1

3

m所需的能量．
根据动能定理：0-Ek=

Mg

3

×

x

2

+

QE

3

×

x

2

-

f1+f2

2

×x
代入数据得，0-Ek=

20

3

×

1

6

+

20

3

×

1

6

-

20+ 4 3

2

×

1

3

解得Ek=

10

3

J．
答：（1）当桌面下的链条0.5m时，桌面下的链条所受到的重力恰好等于链条受到的滑动摩擦力；
（2）从桌面上滑下全部链条所需的最小初动能为

10

3

J．

点评：解决本题要知道最大静摩擦力约等于滑动摩擦力，关键找出临界状态，然后结合功能关系列式求解，较难．