题目内容
(22分)如图甲所示,在xOy坐标平面的第一象限(包括x、y轴)内存在磁感应强度大小为B0、方向垂直于xOy平面且随时间做周期性变化的匀强磁场,如图乙所示,规定垂直xOy平面向里的磁场方向为正。在y轴左侧有一对竖直放置的平行金属板M、N,两板间的电势差为U0。一质量为m、电量为q的带正电粒子(重力和空气阻力均忽略不计),从贴近M板的中点无初速释放,通过N板小孔后从坐标原点O以某一速度沿x轴正方向垂直射入磁场中,经过一个磁场变化周期T0(T0未知)后到达第一象限内的某点P,此时粒子的速度方向恰好沿x轴正方向。
(1)求粒子进入磁场作匀速圆周运动时的运动半径;
(2)若粒子在t=0时刻从O点射入磁场中,求粒子在P点纵坐标的最大值ym及相应的磁场变化周期T0的值;
(3)若在上述(2)中,第一象限内y=ym处平行x轴放置有一屏幕,如图甲,磁场变化周期为上述(2)中T0,但M、N两板间的电势差U可以在U0<U<9U0范围内变化,粒子仍在t=0时刻从O点射入磁场中,求粒子可能击中的屏幕范围。
解:(1)设粒子被电场加速获得速度大小为v0,根据动能定理qU0=mv02
解得:v0=.
带电粒子垂直进入匀强磁场后做半径为r的匀速圆周运动,q v0B0=m,
解得r=。
(2)设带电粒子在磁场中运动周期为T,则有T==。
如图所示,粒子在P点y坐标值最大,据几何知识有,OO1=PO2=r,
O1O2=2r,则AO1=r。
P点纵坐标最大值ym= OO1 +AO1+PO2=(2+).
由几何关系知α=60°,粒子运动时转过α+90°=150°,磁场开始改变方向,即磁场变化半个周期内粒子运动转过150°角,则=T=.
(3)由U0≤U≤9 U0可得粒子速度v0≤v≤3 v0。
粒子在磁场中运动半径:r≤R≤3r。
由几何关系可得,在屏幕上击中的屏幕范围最左端轨迹如图2所示,该点横坐标x1=0;
由几何关系可得,在屏幕上击中的屏幕范围最右端轨迹如图3所示,
由(ym- Rm)2+x22=Rm2
解得该点横坐标x2=r=;
粒子可能击中的屏幕范围为:0≤x≤。
【解析】应用动能定理、洛伦兹力公式、牛顿运动定律及其相关知识列方程解答。