Question

【题目】在海上有一种浮桶式波浪发电灯塔，其原理如图甲所示。浮桶内的磁体通过支柱固定在暗礁上。密闭浮桶的内置线圈与浮筒保持相对静止，随着波浪上下起伏，线圈相对于磁体沿竖直方向运动，且始终处于磁场中。浮桶下部始终浸没在海水中，且上部始终没有进入海水中，其外侧圆周的横截面积（如图乙中阴影部分所示）为S。

（1）己知浸在海水中的浮桶受到竖直向上的浮力，浮力大小的表达式为F浮=ρgV排，其中海水的密度为ρ，g为重力加速度，V排为浮桶排开海水的体积。

a．忽略海水对浮桶的阻力，试证明浮桶在重力和浮力作用下的自由振动是简谐运动，并写明回复力系数k的表达式；

b．若某次自由振动中的振幅为0.6m，周期为6s，且t=0时，浮桶位于振动的最低点，以向上为正方向，试写出这次振动过程的位移表达式。

（2）已知海浪的周期始终为T=3.0s，海水的密度为ρ=103kg/m3。浮桶外侧圆周的横截面积（如图乙中阴影部分所示）为S=0.20m2。内置线圈的匝数N=200，固定磁体在线圈所处位置产生的辐向磁场的磁感应强度大小为B=0．20T，线圈直径D=0.40m，总电阻r=1.0Ω，该线圈与阻值R=15Ω的灯泡相连。取重力加速度g=10m/s2，且π2=10。

a．已知浮筒作简谐运动的固有周期公式为，其中m为振子质量，k为回复力系数。浮桶随波浪上下运动可视为受迫振动，当浮桶及线圈的总质量m为多大时，该浮桶式波浪发电机的发电功率达到最高？

b．若浮桶随波浪上下运动可视为受迫振动，振动的位移可表示为。试求此时灯泡的实际电功率P。

Answer 1

【答案】（1）a．见解析 b．（2）a．450kg；b．480W

【解析】(1)a.根据题意，设浮桶及线圈的总质量为M，在水面平衡时，排开水的体积为V0，

Mg=ρgV0

设浮桶及线圈相对平衡位置的位移是x，

可得：F回=-F浮+Mg=-ρg（V0+Sx）+ρgV0=-ρgSx

考虑到简谐运动的特征：F回=-kx

可得回复力系数k=ρgS

b.简谐运动的位移表达式为

因

，

浮桶位于振动的最低点，以向上为正方向开始振动，则

故振动表达式为

(2)a.简谐运动的周期：

结合回复力系数k=ρgS，可得浮桶与线圈作简谐运动的固有周期

因驱动力周期时，波浪机械能转化为电能的效率最高时，

解得m=450kg

b. 由振动的位移表达式，可得

发电的最大电动势为

根据闭合电路欧姆定律，流过灯泡的电流为

电功率为：