Question

4．细杆AB长L，两端分别约束在x、y轴上运动
（1）试求杆上与A点相距aL（0＜a＜L）的P点运动轨迹；
（2）如果v_A为已知，试求P点的x、y向分速度v_Px和v_Py对杆方位角θ的函数．

Answer 1

分析 （1）设P点坐标为（x，y），列式求解出x、y与角度的关系式，然后消去参数θ即为P点的轨迹方程；
（2）P点的轨迹是圆，速度是切线方向，画出轨迹图，结合几何关系得到P点速度方向与杆的方向的夹角，P点的速度沿着杆方向的分速度与A点速度沿着杆方向的分速度相等．

解答 解：（1）设P点坐标为（x，y），
写出参数方程得：x=aLsinθ，y=（1-a）Lcosθ
消去参数θ得：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{（1-a）^{2}}={L}^{2}$
故P点的运动轨迹是圆；
（2）以A点为参考点，则杆上的各点绕A点转动，但鉴于杆上各点的运动情况如图：

得：v_牵=v_Acosθ，${v}_{转}={v}_{A}•\frac{co{s}^{2}θ}{sinθ}$
可得B端相对于A的转动的线速度为：${v}_{转}+{v}_{A}sinθ=\frac{{v}_{A}}{sinθ}$
所以P点的线速度为：${v}_{线}=\frac{a•{v}_{A}}{sinθ}$
所以：v_Px=v_线cosθ+v_Ax=a•v_Actgθ
v_Py=v_Ay-v_线sinθ=（1-a）v_A
答：（1）杆上与A点相距aL（0＜a＜L）的P点运动轨迹是圆，圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{（1-a）^{2}}={L}^{2}$；
（2）如果v_A为已知，P点的x、y向分速度v_Px和v_Py对杆方位角θ的函数分别为：v_Px=v_线cosθ+v_Ax=a•v_Actgθ和v_Py=v_Ay-v_线sinθ=（1-a）v_A．

点评 本题涉及运动的合成与分解，是高中物理竞赛的经典试题之一，关键是采用运动的合成与分解以及参数方程的方法进行研究，找出点P的运动方向是关键．难度比较大，一般学生不建议做这一类的题目．