题目内容
【题目】如图所示，四个半径为1，且完全相同的均质光滑圆球，将它们摆为上下两层且彼此相切，下层三个球
、
、
质量均为
，放置在光滑水平面上，上层球
的质量为下边三个球质量之和．试
（1）若将下层三个球用一根绳子在球心高度处缠绕，把三个球捆扎在一起，再将第四个球放在上层，问：静止情况下张力
为多大？
（2）若在图所示的位置突然剪断绳子，四个球由静止开始运动，问：上下层球在什么位置处开始脱离？
（3）问：上层球第一次落到桌面时，下层三个球的质心运动后所组成等边三角形的边长为多大？
【答案】（1）
（2）
时上下层球开始脱离（3）
【解析】
设下层球的质量均为
，则上层球的质量为
．
、
、
、
分别为下层球和上层球的球心，
为下层球心组成三角形的形心，
为
与
的夹角，如图所示．
（1）系统静止时，由几何关系可知
，
．
对上层球
进行受力分析，如图所示，列
方向平衡方程有
，
． ①
图3
对下层球
进行受力分析，如图所示，列
方向平衡方程有
，
． ②
联立式①②，可得系统静止时绳子拉力为．
（2）开始时上下层球心的连线与水平方向夹角为，剪断绳子后在
位置，设下层球心水平速度为
，加速度为
，上层球球心下落的速度为
，加速度为
．
两球脱离前
．
由系统的动能定理，有
．
整理可得
， ③
由刚体运动学原理，上下层球脱离前，下层任一球与上层球球心的加速度之间有如下关系：
． ④
设上层球与下层三球间的相互作用力为
，对上层球分析，由质心运动定理有
． ⑤
对下层任一球进行分析，由质心运动定理有
． ⑥
由式③⑥，可得上下层球相互作用力为
． ⑦
上下层球脱离条件为
，由式⑦得
．
即当时上下层球开始脱离
（3）上下层球脱离后，上层与下层球球心的距离始终大于2，上下两层球不再相碰，将
代人式③，可以求出脱离时上层球心的速度为
． ⑧
此时，下层球的质心速度为
． ⑨
运动后，下层球心到静正时下层球心围成的等边三角形中心的距离为
． ⑩
上层球心到桌面间的距离为
．
由式⑧，脱离后上层球接触桌面所需的时间为
．
由式⑨，下层球心在这段时间内又运动距离为
．
由式⑩，当上层球第一次与桌面接触时，下层三个球的质心所组成的等边三角形的边长是
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