题目内容
11．
如图所示，垂直纸面的平面MN将空间分成两部分，上方有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，下方有匀强电场，大小方向未知，从MN上的O点，先后有两个带电粒子垂直磁场方向射入上方空间，其中甲粒子带负电，速度方向与MN的夹角α=30°，大小v1=v0，乙粒子带正电，速度方向与MN的夹角β=60°，大小v2=$\sqrt{3}$v0，两粒子质量皆为m、电荷量皆为q，且同时到达磁场边界的A、B两点（图中未画出），不计两粒子的重力及粒子间的相互作用．（1）求两粒子在磁场边界上的穿出点A、B之间的距离d；
（2）求两粒子进入磁场的时间间隔△t；
（3）若MN下方的匀强电场平行于纸面，且两粒子在电场中相遇，其中甲粒子做直线运动，求电场强度E的大小和方向．
分析 （1）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力求出两种情况下粒子运动的半径，然后结合几何关系即可求出AB之间的距离；
（2）求出粒子转过的圆心角，然后求出粒子在磁场中的运动时间；
（3）结合甲做直线运动，分析A与B的受力情况与运动情况，然后结合牛顿第二定律与运动学的公式即可求出．
解答 解：（1）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹如图，由洛伦兹力提供向心力得：$qvB=\frac{m{v}^{2}}{r}$
所以：${r}_{1}=\frac{m{v}_{1}}{qB}=\frac{m{v}_{0}}{qB}$
${r}_{2}=\frac{m{v}_{2}}{qB}=\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}}{qB}$
由图中几何关系可知：$AO={r}_{1}=\frac{m{v}_{0}}{qB}$，$OB=2×{r}_{2}cosα=2×\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}}{qB}•\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3m{v}_{0}}{qB}$
所以：$d=AO+OB=\frac{4m{v}_{0}}{qB}$
（2）由图可知，甲离子转过的角度是：θ1=360°-2α=360-2×30=300°，
乙粒子转过的角度：θ2=360°-2β=36-2×60=240°
粒子运动的周期：$T=\frac{2πr}{v}=\frac{2πm}{qB}$
粒子运动的时间与周期的关系：$\frac{θ}{2π}=\frac{t}{T}$
两个粒子在磁场中运动的时间：${t}_{甲}=\frac{300}{360}×T=\frac{5πm}{3qB}$，${t}_{乙}=\frac{240}{360}×T=\frac{4πm}{3qB}$
两粒子进入磁场的时间间隔△t=${t}_{甲}-{t}_{乙}=\frac{5πm}{3qB}-\frac{4πm}{3qB}=\frac{πm}{3qB}$
（3）由于甲粒子在电场中做直线运动，所以电场力的方向沿甲粒子的速度的方向，甲粒子自发地，所以电场强度的方向沿右上方．（若与运动的方向相反，则二者可能不能相遇）
由于α=30°，β=60°，由带电粒子在磁场中运动的对称性可知，粒子从磁场中射出后一定的方向与MN之间的夹角仍然分别是α和β，所以粒子从磁场中射出后速度的方向相互垂直，可知沿两个速度的方向上BC⊥AC，电场力的方向沿AC的方向所以与BC垂直，所以粒子甲做匀加速直线运动，而粒子乙做类平抛运动．由于粒子的质量和电荷量都相等，所以加速度也相等，设电场强度的大小为E，加速度：$a=\frac{qE}{m}$
设二者在D点相遇，相遇时在电场中运动的时间为t，则沿BC的方向，粒子乙的运动：$\overline{BC}={v}_{2}t$，其中：$\overline{BC}=d•sinα=d•sin30°=\frac{2m{v}_{0}}{qB}$
甲的位移：$\overline{AD}={v}_{1}t+\frac{1}{2}a{t}^{2}$
乙的位移：$\overline{CD}=\frac{1}{2}a{t}^{2}$
$\overline{AD}+\overline{CD}=\overline{AC}=d•cosα=d×cos30°=2\sqrt{3}•\frac{m{v}_{0}}{qB}$
联立以上方程，解得：E=B•v0
答：（1）两粒子在磁场边界上的穿出点A、B之间的距离是$\frac{4m{v}_{0}}{qB}$；
（2）两粒子进入磁场的时间间隔是$\frac{πm}{3qB}$；
（3）若MN下方的匀强电场平行于纸面，且两粒子在电场中相遇，其中甲粒子做直线运动，电场强度E的大小为B•v0，方向向右上，与MN之间的夹角是30°．
点评 本题考查了求粒子在磁场中的运动时间，粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，求出粒子转过的圆心角、根据粒子的周期公式可以求出粒子的运动时间．
小题狂做系列答案
如图所示．在光滑的水平地面上停着一辆质量为m1=20Kg的小车A，有一质量为m2=15Kg的小木块C静止于小车A的右端，另有一辆质量为m3=25Kg的小车B以V0=3m/s的速度向右运动，与小车A发生碰撞，碰撞后连在一起运动（两车相碰时间极短）．假定车A足够长，木块与小车A的动摩擦因数为?=0.2（g取10m/s2，计算结果小数点后保留两位）．试求：
某科技兴趣小组用实验装置模拟火箭发射卫星．火箭点燃后从地面竖直升空，燃料燃尽后火箭的第一级第二级相继脱落，实验中测得卫星竖直方向的速度-时间图象如图所示，设运动中不计空气阻力，燃料燃烧时产生的推力大小恒定．下列判断正确的是（ ）| A． | t2时刻卫星到达最高点，t3时刻卫星落回地面 | |
| B． | 卫星在0～t1时间内的加速度大于t1～t2时间内的加速度 | |
| C． | t1～t2时间内卫星处于超重状态，t2～t3时间内卫星处于失重状态 | |
| D． | 卫星在t2～t3时间内的加速度大小大于重力加速度 |
| A． | 如果电场线与等势面不垂直，那么电场强度就有一个沿着等势面的分量，在等势面上移动电荷静电力就要做功．这里用的逻辑方法是归纳法 | |
| B． | 安培为解释磁现象提出了“物质微粒内部存在着一种环形电流-分子电流”的观点 | |
| C． | 用比值法来描述加速度这个物理量，其表达式为a=$\frac{F}{m}$ | |
| D． | 牛顿利用“月-地检验”建立了万有引力定律 |
如图所示，两个相同的小球A，B用长度分别为l1，l2的细线（l1＜l2）悬于在天花板的O1，O2点，两球在水平面内做匀速圆周运动，两根细线与竖直轴夹角均为θ．设A，B两球的线速度分别为vA，vB，角速度分别为ωA，ωB加速度分别为aA，aB，两根细线的拉力分别为FA，FB，则（ ）| A． | vA＞vB | B． | ωA＞ωB | C． | aA=aB | D． | FA＜FB |
空间有一沿x轴对称分布的电场，电场强度就在x轴上且规定沿x轴正向为正，其电场强度E随x轴变化的图象如图所示，图象过坐标原点O点，下列说法中正确的是（ ）| A． | x1和x3两点的电势相等 | |
| B． | 在x轴上场强最大的点有两个，其中一个点是x2 | |
| C． | 坐标原点O点的电势最低 | |
| D． | x1和-x1两点的电势相等 |
如图所示，一导线弯成半径为a的半圆形闭合回路，虚线MN右侧有磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直于回路所在的平面，回路以速度v向右匀速进入磁场，直径CD始终与MN垂直，从D点到达边界开始到C点进入磁场为止，下列结论错误的是（ ）| A． | CD段直导线始终不受安培力 | B． | 感应电动势最大值Em=Bav | ||
| C． | 感应电流方向不变 | D． | 感应电动势平均值$\overline{E}$=$\frac{1}{4}$πBav |
一质量为m、电阻为r的金属杆ab，以一定的初速度v0从一光滑平行金属导轨底端向上滑行，导轨平面与水平面成30°角，两导轨上端用一电阻R相连，如图所示，磁场垂直斜面向上，导轨的电阻不计，金属杆向上滑行到某一高度之后又返回到底端时的速度大小为v，则金属杆在滑行过程中（ ）| A． | 向上滑行的时间小于向下滑行的时间 | |
| B． | 在向上滑行时电阻R上产生的热量大于向下滑行时电阻R上产生的热量 | |
| C． | 向上滑行时与向下滑行时通过电阻R的电荷量相等 | |
| D． | 金属杆从开始上滑至返回出发点，电阻R上产生的热量为$\frac{1}{2}$m（v02-v2） |