Question

7．如图所示，竖直平面内的固定轨道由倾角θ=37°的粗糙斜面和与斜面相切且半径为R的光滑圆弧面BC组成，C端切线水平；轨道下方有一个倾角也为θ的固定斜面，斜面底端P与C端在同一竖直线上．现将质量为m的小物块（可视为质点）从A点由静止开始沿轨道滑下，并从C端飞出，落在斜面上的D点时其速度方向与斜面垂直．不计空气阻力，P、D两点间的距离为R，A、B两点间的距离为$\frac{R}{2}$，重力加速度为g，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）小物块从C端飞出时的对轨道的压力；
（2）小物块与斜面AB间的动摩擦因数μ．

Answer 1

分析 （1）小物块从C端飞出后做平抛运动，落到斜面上的D点时其速度方向与斜面垂直，将该速度进行分解，得到竖直分速度与时间的关系．根据水平位移与时间的关系再列式，联立可求得C点的速度．再由牛顿运动定律求小物块从C端飞出时的对轨道的压力；
（2）对于物块从A到C的运动过程，运用动能定理列式，可求得物块与斜面AB间的动摩擦因数μ．

解答 解：（1）设小物块从C点飞出后做平抛运动的初速度为v_C，垂直落在斜面上时的水平方向速度和竖直方向速度分别为v_x和v_y．如图所示．根据平抛运动规律有：
  $\frac{{v}_{x}}{{v}_{y}}$=tanθ
又 v_y=gt
   v_x=v_C
Rcosθ=v_xt
 联立以上各式解得 v_C=$\sqrt{gRsinθ}$=$\sqrt{\frac{3}{5}gR}$
设在C端轨道对物块的支持力为N，则N-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
解得 N=1.6mg
根据牛顿第三定律可知，小物块从C端飞出时对轨道的压力大小为 N′=N=1.6mg
（2）对于物块从A到C的运动过程，运用动能定理得：
   mg$\frac{R}{2}$sinθ-μmgcosθ•$\frac{R}{2}$+mgR（1-cosθ）=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
解得 μ=$\frac{2（1-cosθ）}{cosθ}$=0.5
答：
（1）小物块从C端飞出时的对轨道的压力是1.6mg；
（2）小物块与斜面AB间的动摩擦因数μ是0.5．

点评 本题关键分析清楚小球的运动情况，根据平抛运动的分速度和分位移公式求解出平抛的初速度，再根据牛顿第二定律和运动学公式联立列式求解．