Question

17．如图甲所示，空间存在B=0.5T，方向竖直向下的匀强磁场，MN、PQ是相互平行的粗糙的长直导轨，处于同一水平面内，其间距L=0.2m，R是连在导轨一端的电阻，ab是跨接在导轨上质量m=0.1kg的导体棒，从零时刻开始，通过一小型电动机对ab棒施加一个牵引力F，方向水平向左，使其从静止开始沿导轨做加速运动，此过程中棒始终保持与导轨垂直且接触良好，图乙是棒的速度一时间图象，其中OA段是直线，AC是曲线，DE是曲线图象的渐近线．小型电动机在12s末达到额定功率P=4.5W，此后功率保持不变．除R以外，其余部分的电阻均不计，g=10m/s²．

（1）求导体棒在0～12s内的加速度大小．
（2）求导体棒与导轨间的动摩擦因数及电阻R的阻值．
（3）若t=17s时，导体棒ab达最大速度，且0～17s内共发生位移100m．试求12s～17s内R上产生的热量是多少？

Answer 1

分析 （1）导体棒在0-12s内做匀加速运动，由图象的斜率求解加速度．
（2）乙图中A点：由E=BLv、I=$\frac{E}{R}$、F=BIL推导出安培力的表达式，由牛顿第二定律得到含μ和R的表达式；图中C点：导体棒做匀速运动，由平衡条件再得到含μ和R的表达式，联立求出μ和R．
（3）由图象的“面积”求出0-12s内导体棒发生的位移，0-17s内共发生位移100m，求出AC段过程发生的位移，由能量守恒定律求解12s～17s内R上产生的热量．

解答 解：（1）由图中可得12s末的速度为 v₁=9m/s，t₁=12s
导体棒在0～12s内的加速度大小为　
 a=$\frac{{v}_{1}-0}{{t}_{1}}$=0.75m/s²．
（2）设金属棒与导轨间的动摩擦因数为μ．
A点有　E₁=BLv₁ ①
感应电流　I₁=$\frac{{E}_{1}}{R}$    ②
由牛顿第二定律　F₁-μmg-BI₁L=ma₁ ③
则额定功率为 P_额=F₁v₁　　  　④
C点：棒达到最大速度，F₂-μmg-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{R}$=0  ⑤
  P_额=F₂v_m ⑥
将速度v=9m/s，a=0.75m/s²和最大速度 v_m=10m/s，a=0 代入．
可得μ=0.2，R=0.4Ω　　　　　　　
（3）0～12s内导体棒匀加速运动的位移 s₁=v₁t₁/2=54m                         
12～17s内导体棒的位移 s₂=100-54=46m                                      
由能量守恒 Q=Pt₂-$\frac{1}{2}$m（v₂²-v₁²）-μmg s₂=12.35J．                            
答：（1）求导体棒在0-12s内的加速度大小是0.75m/s²；
（2）导体棒与导轨间的动摩擦因数是0.2，电阻R的阻值是0.4Ω；
（3）12-17s内，R上产生的热量是12.35J．

点评 本题与力学中汽车匀加速起动类似，关键要推导安培力的表达式F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$，根据平衡条件、牛顿第二定律和能量守恒结合进行求解．