Question

11．电子感应加速器工作原理如图所示（上图为侧视图、下图为真空室的俯视图），它主要有上、下电磁铁磁极和环形真空室组成．当电磁铁绕组通以变化电流时，产生变化磁场，穿过真空盒所包围的区域内的磁通量随时间变化，这时真空盒空间内就产生感应涡旋电场，电子将在涡旋电场作用下得到加速．在竖直向上的磁感应强度增大过程中，将产生涡旋电场，其电场线是在水平面内一系列沿顺时针方向的同心圆，同一条电场线上各点的场强大小相等，涡旋电场场强与电势差的关系与匀强电场相同．设被加速的电子被“约束”在半径为r的圆周上运动．整个圆面区域内存在有匀强磁场，该匀强磁场的磁感应强度的大小随时间变化的关系式为：B=kt．
（1）求电子所在圆周上的感生电场场强的大小；
（2）若电子离开电子枪时的速度为v₀，求电子被加速一圈之后的速度大小；
（3）在（1）条件下，为了维持电子在恒定的轨道上加速，需要在轨道边缘处外加一个匀强磁场B_r，求电子轨道处的磁场B_r与轨道内的磁场B应满足什么关系；
（4）若给电磁铁通入正弦交变电流，一个周期内电子能被加速几次．

Answer 1

分析 （1）根据法拉第电磁感应定律，结合磁通量表达式，即可求解；
（2）根据动能定理，结合电场力做功，即可求解；
（3）根据运动的合成与分解，由牛顿第二定律，结合洛伦兹力与向心力表达式，即可求解；
（4）根据在不同时间内，分析电子受力与运动情况，从而即可求解．

解答 解：（1）设被加速的电子被“约束”在半径为r的圆周上运动，在半径为r的圆面上，通过的磁通量为Φ=BπR²，B是整个圆面区域内的磁感应强度，电子所在圆周上的感生电场场强为E′．
根据法拉第电磁感应定律E=$\frac{△Φ}{△t}$ 得，$E′×2πr=\frac{△B}{△t}π{r}^{2}$
感生电场的大小：$E′=\frac{kr}{2}$
（2）根据动能定理，则有：$E′e×2πr=\frac{m（{v}^{2}-{v}_{0}^{2}）}{2}$
解得：v=$\sqrt{\frac{2kπe{r}^{2}}{m}+{v}_{0}^{2}}$
（3）设电子在半径为r的轨道上运动时，轨道所在处的磁感应强度为B_r，而在半径为r的圆面区域内的磁感应强度为B，维持电子在恒定的轨道上加速时，由牛顿第二定律得
在切线方向：$eE′=ma=m\frac{△v}{△t}$，
将$E′=\frac{r}{2}\frac{△B}{△t}$
代入$e•\frac{r}{2}•\frac{△B}{△t}$=m$\frac{△v}{△t}$        ①
在半径方向：$ev{B}_{r}=m\frac{{v}^{2}}{r}$
化简得$e{B}_{r}=m\frac{v}{r}$    ②
将②式对时间微分得$e\frac{△{B}_{r}}{△t}=\frac{m}{r}•\frac{△v}{△t}$            ③
由①③得${B}_{r}=\frac{B}{2}$
  即电子轨道处的磁感应强度为轨道内部磁感应强度的一半．
（4）
给电磁铁通入交变电流如图3所示，从而产生变化的磁场，变化规律如图4所示（以图乙中所标电流产生磁场的方向为正方向），要使电子能被逆时针（从上往下看，以下同）加速，
一方面感生电场应是顺时针方向，即在磁场的第一个或第四个$\frac{1}{4}$周期内加速电子；
而另一方面电子受到的洛仑兹力应指向圆心，只有磁场的第一或第二个$\frac{1}{4}$周期才满足．
所以只有在磁场变化的第一个$\frac{1}{4}$周期内，电子才能在感生电场的作用下不断加速．
因此，一个周期内电子只能被加速一次．
答：（1）电子所在圆周上的感生电场场强的大小$\frac{kr}{2}$；
（2）若电子离开电子枪时的速度为v₀，电子被加速一圈之后的速度大小$\sqrt{\frac{2kπe{r}^{2}}{m}+{v}_{0}^{2}}$；
（3）在（1）条件下，为了维持电子在恒定的轨道上加速，需要在轨道边缘处外加一个匀强磁场B_r，电子轨道处的磁感应强度为轨道内部磁感应强度的一半；
（4）若给电磁铁通入正弦交变电流，一个周期内电子能被加速一次．

点评 考查属于力电综合题，掌握牛顿第二定律与运动学公式的应用，注意运动的合成与分解，同时掌握洛伦兹力与向心力表达式．关键还是画出电子的运动轨迹．