Question

一个质量为M的雪橇静止在水平雪地上，一条质量为m的爱斯基摩狗站在该雪橇上。狗向雪橇的正后方跳下，随后又追赶并向前跳上雪橇；其后狗又反复地跳下、追赶并跳上雪橇，狗与雪橇始终沿一条直线运动。若狗跳离雪橇时雪橇的速度为V，则此时狗相对于地面的速度为V+u(其中u为狗相对于雪橇的速度，V+u为代数和。若以雪橇运动的方向为正方向，则V为正值，u为负值)。设狗总以速度v追赶和跳上雪橇，雪橇与雪地间的摩擦忽略不计。已知v的大小为5m/s，u的大小为4m/s，M=30kg，m=10kg。
（1）求狗第一次跳上雪橇后两者的共同速度的大小。
（2）求雪橇最终速度的大小和狗最多能跳上雪橇的次数。（供使用但不一定用到的对数值：lg2=0.301，lg3=0.477)

Answer 1

解：（1）设雪橇运动的方向为正方向，狗第1次跳下雪橇后雪橇的速度为V₁，根据动量守恒定律，有

狗第1次跳上雪橇时，雪橇与狗的共同速度V₁'满足
可解得
将代入，得
（2）设雪橇运动的方向为正方向，狗第（n－1）次跳下雪橇后雪橇的速度为V_n－1，则狗第（n－1）次跳上雪橇后的速度满足
这样，狗n次跳下雪橇后，雪橇的速度为V_n满足
解得
狗追不上雪橇的条件是V_n≥v
可化为
最后可求得
代入数据，得
狗最多能跳上雪橇3次，雪橇最终的速度大小为V₄=5.625m/s