Question

一个质量为M的雪橇静止在水平雪地上，一条质量为m的爱斯基摩狗站在该雪橇上.狗向雪橇的正后方跳下，随后又追赶并向前跳上雪橇；其后狗又反复地跳下、追赶并跳上雪橇.狗与雪橇始终沿一条直线运动.若狗跳离雪橇时雪橇的速度为v，则此时狗相对于地面的速度为v+u（其中u为狗相对于雪橇的速度，v+u为代数和，若以雪橇运动的方向为正方向，则v为正值，u为负值）.设狗总以速度v追赶和跳上雪橇，雪橇与雪地间的摩擦忽略不计.已知v的大小为5 m/s，u的大小为4 m/s，M=30 kg，m=10 kg.求：

（1）狗第一次跳上雪橇后两者的共同速度的大小；

（2）雪橇的最终速度和狗最多能跳上雪橇的次数.

（供使用但不一定用到的对数值：lg2=0.301，lg3=0.477）

Answer 1

（1）2 m/s  （2）5.625 m/s

解析：（1）设雪橇运动的方向为正方向，狗第1次跳下雪橇后雪橇的速度为v₁，根据动量守恒定律，有

Mv₁+m(v₁+u)=0

狗第1次跳上雪橇时，雪橇与狗的共同速度为v₁′满足Mv₁+mv=(M+m)v₁′

可解得  v₁′=

将u=-4 m/s，v=5 m/s，M=30 kg，m=10 kg代入，得v₁′=2 m/s.

（2）设雪橇运动的方向为正方向，狗第i次跳下雪橇后，雪橇的速度为v_i，狗的速度为v_i+u；狗第i次跳上雪橇后，雪橇和狗的共同速度为v_i′，由动量守恒定律可得

第一次跳下雪橇：

Mv₁+m(v₁+u)=0

v₁=-=1 m/s

第一次跳上雪橇：

Mv₁+mv=(M+m)v_i′

第二次跳下雪橇：

（M+m）v_i′=Mv₂+m(v₂+u)，v₂′=

第三次跳下雪橇：

(M+m)v₂′=Mv₃+m(v₃+u)，v₃=

第四次跳下雪橇：

（M+m）v₃′=Mv₄+m(v₄+u)

v₄==5.625 m/s.

此时雪橇的速度已大于狗追赶的速度，狗将不可能追上雪橇.因此狗最多能跳上雪橇3次，雪橇最终的速度大小为5.625 m/s.