题目内容
【题目】如图所示,装置的左边是足够长的光滑水平面,一轻质弹簧左端固定,右端连接着质量m=lkg的小物块A,弹簧压缩后被锁定在某一长度。装置的中间是水平传送带,它与左右两边的台面等高,并能平滑对接。传送带始终以v=2ms的速度逆时针转动。装置的右边是一光滑的曲面,质量M=2kg的小物块B从其上距水平台面h=1.0m处由静止释放。已知物块B与传送带之间的动摩擦因数μ=0.2,l=1.0m。设物块A、B之间发生的是对心碰撞(碰撞时间极短),碰撞后两者一起向前运动且碰撞瞬间弹簧锁定被解除。取g=10m/s2。
(1)求物块B与物块A第一次碰撞前的速度大小;
(2)若物块B第一次与A分离后,恰好运动到右边曲面距水平台面h′=0.5m高的位置,求弹簧被锁定时弹性势能的大小;
(3)在满足(2)问条件的前提下,两物块发生多次碰撞,且每次碰撞后分离的瞬间物块A都会立即被锁定,而当它们再次碰撞前锁定被解除,求物块A、B第n次碰撞后瞬间速度大小。(计算结果可用根号表示)
【答案】(1)物块B与物块A第一次碰撞前的速度大小为;(2);(3),
【解析】
(1)B从最高点运动到传送带最左端的过程中,根据动能定理列式求解物块B与物块A第一次碰撞前的速度大小;(2)根据动量守恒定律求解两物体碰后的共同速度;AB及弹簧系统由第一次解锁位置到第一次恢复原长位置,由能量关系求解弹簧被锁定时弹性势能;(3)分析两物块多次碰撞的物理过程,结合能量关系和动量守恒定律,联系数学知识归纳物块A、B第n次碰撞后瞬间速度大小.
(1)若B在传送带上能一直减速运动,设它在最左端时的速度为v1前,则B从最高点运动到传送带最左端的过程中由动能定理:
解得v前1=4m/s>2m/s,则物块B与物块A第一次碰撞前的速度大小为4m/s;
(2)设B与A碰撞后瞬间的共同速度为v1后,对AB系统由动量守恒定律:
分析可知,当弹簧恢复原长时AB分离,设B第一次离开弹簧时速度为v1离,对B离开弹簧到运动到h'高度处由动能定理:
对AB及弹簧系统由第一次解锁位置到第一次恢复原长位置,由能量守恒定律:
联立解得:
(3)若B从h'处下落后再传送带上能够一直减速,则B从h'运动到传送带最左端过程中由动能定理:
解得,故物块B与物块A第二次碰撞前的速度大小为;B与A第二次碰撞的过程中,对AB系统:
解得;
B向右再次冲到传送带上若能在其上速度减为0,设其通过的位移为x,由动能定理:
解得 故而B第三次与A相碰时速度仍为;
再由:
解得;
推理可知B与A第n次碰撞后速度大小表达式为:
根据以上分析可知:,(n=2,3,4…)