Question

如图所示，桌面上有一轻质弹簧，左端固定在A点，自然状态时其右端B点位于桌面右侧边缘．水平桌面右侧有一竖直放置、半径R=0.3m的光滑半圆轨道MNP，桌面与轨道相切于M点．在以MP为直径的右侧和水平半径ON的下方部分有水平向右的匀强电场，场强的大小E=

mg

q

．现用质量m₀=0.4kg的小物块a将弹簧缓慢压缩到C点，释放后弹簧恢复原长时物块恰停止在B点．用同种材料、质量为m=0.2kg、带+q的绝缘小物块b将弹簧缓慢压缩到C点，释放后，小物块b离开桌面由M点沿半圆轨道运动，恰好能通过轨道的最高点P．（取g=10m/s²）求：
（1）小物块b经过桌面右侧边缘B点时的速度大小；
（2）释放后，小物块b在运动过程中克服摩擦力做的功；
（3）小物块b在半圆轨道运动中最大速度的大小．

Answer 1

分析：由于物体恰好能通过轨道的最高点P，因此可以通过竖直平面内的圆周运动的临界条件先求出P点的速度，再使用动能定理求出物体在B点的速度；
由能量守恒定律联立列式可求摩擦力做功；
物块b与圆心连线与竖直方向的夹角为45⁰位置时（设为D），速度最大，根据动能定理可求解．

解答：解：（1）由于物体恰好能通过轨道的最高点P，要满足竖直平面内的圆周运动的临界条件：故有：
在P点：mg=

m v 2 P

R

        
B→P，由动能定理得：
qER-mg?2R=

1

2

m

v

2 p

-

1

2

m

v

2 B

解得：v_B=3m/s              
（2）C→B，对物块a，由能量守恒定律得：
E_p=μm₀gx_CB              
C→B，对物块b，由能量守恒定律得：
Ep=μmgxCB+

1

2

m

v

2 B

       
摩擦力做功：W_f=μmgx_CB       
解得：W_f=0.9J            
（3）物块b与圆心连线与竖直方向的夹角为45⁰位置时（设为D），速度最大
B→D，由动能定理得：
qERsin45°-mgR（1-cos45°）=

1

2

m

v

2 D

-

1

2

m

v

2 B

  
解得：v_D=

3+6 2

m/s
答：（1）小物块b经过桌面右侧边缘B点时的速度大小为3m/s；
（2）释放后，小物块b在运动过程中克服摩擦力做的功为0.9J；
（3）小物块b在半圆轨道运动中最大速度的大小为

3+6 2

m/s．

点评：该题通过动能定律的方式考查物体在竖直平面内的圆周运动，关键在于竖直平面内的圆周运动的临界条件．属于中档题．