Question

（2005?淮安二模）如图所示，在xoy平面内，第I象限中有匀强电场，场强大小为E，方向沿x轴负方向，在第Ⅱ象限和第Ⅲ象限有匀强磁场，方向垂直于纸面向里．今有一个质量为m，电荷量为e的质子（不计重力），从x轴上的P点以初速度v₀垂直于电场方向进入电场．经电场偏转后，沿着与y轴正方向成45°角的方向进入磁场，从磁场中飞出时恰好能返回到原出发点P．试求：
（1）P点离坐标原点的距离l；
（2）磁场的磁感应强度B；
（3）质子第二次在电场中运动的时间t．

Answer 1

分析：（1）分析质子的运动情况：质子从P到A，受到竖直向下的电场力而做类平抛运动（或匀变速曲线运动）；进入磁场从A到C再到D，做匀速圆周运动；离开磁场从D到P，做匀速直线运动，画出轨迹．质子在电场中做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动．在A点质子的速度与x轴成45°角，则知质子经过A点的速度为v=

2

v₀．根据动能定理研究质子从P到A的过程，可求出h．
（2）由运动学公式，确定OA的距离，再由几何关系可确定，OD的距离，最后由圆弧半径的公式，即可求解；
（3）质子第二次在电场中做匀减速运动，由牛顿第二定律与运动学公式可求出时间．

解答：解：（1）质子运动的轨迹示意图如右图所示，质子进入电场从P到A，做类平抛运动（或匀变速曲线运动）；进入磁场从A到C再到D，做匀速圆周运动；离开磁场从D到P，做匀速直线运动． 
质子经过A点的速度大小：v=

v0

cos45°

=

2

v0
质子从P到A过程，由动能定理得：eEl=

1

2

mv²-

1

2

m

v

2 0

解得，l=

m v 2 0

2Ee

（2）设OA的距离为S₁，OD的距离为S₂，
则S₁=v₀t 
l=

v0tan45°

2

t
解得：S₁=2l
质子从磁场中飞出时的方向与y轴也成45°，所以S₂=l
所以，质子在磁场中的轨道半径为R=

S1+S2

2

=

3 2 l

2

 由于R=

mvA

eB

，解得：B=

4E

3v0

（3）质子第二次在P点时，速度大小为

2

v0，速度方向与x轴正方向成45°，
质子第二次在电场中运动，在x方向做初速度为v₀，
加速度大小为a=

Ee

m

的匀减速直线运动．
则有：-l=v0t-

1

2

Ee

m

t2
解得：t=(1+

2

)

mv0

Ee

答：
（1）P点离坐标原点的距离l=

m v 2 0

2Ee

；
（2）磁场的磁感应强度B=

4E

3v0

；
（3）质子第二次在电场中运动的时间t=(1+

2

)

mv0

Ee

．

点评：质子在电场中做类平抛运动的研究方法是运动的分解，而磁场中圆周运动的研究方法是画轨迹，都常用的思路，难度不大．