Question

7．在如图所示的裝置中，悬挂在某固定点的光滑定滑轮上绕有柔软细线．细线的一端系一质量为m、电阻为r的金属杆，另一端系一质量为3m的重物．在竖直平面内有间距为L的足够长的平行金属导軌PQ、EF，在QF之间连接有阻值为R的电阻．其余电阻不计，磁感应强度为B₀的匀强磁场与导轨平面垂直，开始时金属杆置于导轨下端QF处，将重物由静止释放，当重物下降h时恰好达到稳定速度而匀速下降．运动过程中金属杆始终与导轨垂直且接触良好．忽略所有摩擦，重力加速度为g，求：
（1）电阻R中的感应电流方向；
（2）重物匀速下降的速度v；
（3）重物从释放到下降h的过程中，电阻R中产生的焦耳热Q_R：
（4）若将重物下降h时刻记作t=0，速度记为v₀，从此时刻起，磁感应强度逐渐减小，若此后金属杆中恰好不产生感应电流，則磁感应强度B怎样随时间t变化（写出B与t的关系式）

Answer 1

分析 （1）由右手定则判断出感应电流方向，判断出R中的电流方向．
（2）重物匀速下降时，金属杆匀速上升，受力平衡．推导出安培力，由平衡条件列式求出速度v．
（3）重物从释放到下降h的过程中，重物的重力势能减小转化为杆的重力势能和动能、重物的动能及整个回路的内能，根据能量守恒求出整个回路产生的焦耳热，根据串联电路电流关系，求出电阻R中产生的焦耳热Q_R；
（4）当回路中总磁通量不变时，金属棒中不产生感应电流，此时棒将导轨做匀加速运动．根据磁通量不变，列式求B与t的关系式．

解答 解：（1）释放重物后，金属杆向上运动，由右手定则可知，电阻R中的感应电流方向为Q→R→F；
（2）重物匀速下降时，金属棒匀速上升，处于平衡状态，
对金属棒，由平衡条件得：T=mg+F，
金属棒受到的安培力：F=B₀IL=$\frac{{B}_{0}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$，
对重物，由平衡条件得：T=3mg，
解得：v=$\frac{2mg（R+r）}{{B}_{0}^{2}{L}^{2}}$；
（3）设电路中产生的总焦耳热为Q，由能量守恒定律得：
3mgh-mgh=$\frac{1}{2}$•（3m）v²+$\frac{1}{2}$mv²+Q，
电阻R中产生的焦耳热：Q_R=$\frac{R}{R+r}$Q，
解得：Q_R=$\frac{2mghR}{R+r}$-$\frac{8{m}^{3}{g}^{2}（R+r）R}{{B}_{0}^{4}{L}^{4}}$；
（4）金属杆中恰好不产生感应电流，即磁通量不变：Φ₀=Φ_t，
hLB₀=（h+h₂）LB_t，
h₂=$\frac{1}{2}$at²，
又 a=$\frac{3mg-mg}{3m+m}=\frac{1}{2}g$
解得，磁感应强度B怎样随时间t变化关系：B_t=$\frac{{B}_{0}h}{h+{v}_{0}t+\frac{g}{4}{t}^{2}}$；
答：（1）电阻R中的感应电流方向为：Q→R→F；
（2）重物匀速下降的速度为$\frac{2mg（R+r）}{{B}_{0}^{2}{L}^{2}}$；
（3）重物从释放到下降h的过程中，电阻R中产生的焦耳热为$\frac{2mghR}{R+r}$-$\frac{8{m}^{3}{g}^{2}（R+r）R}{{B}_{0}^{4}{L}^{4}}$；
（4）磁感应强度B随时间t的变化关系为B_t=$\frac{{B}_{0}h}{h+{v}_{0}t+\frac{g}{4}{t}^{2}}$．

点评 本题分别从力和能量两个角度研究电磁感应现象，关键是计算安培力和分析能量如何变化，以及把握没有感应电流产生的条件．