题目内容

13.某星球的半径为R,在该星球表面某一倾角为θ的山坡上以初速度v0平抛一物体,经过时间t该物体落到山坡上.
(1)求该星球的环绕速度;
(2)若在距离该星球表面高h处有一颗卫星绕着星球做匀速圆周运动,问:卫星运行的周期是多少?(不计一切阻力)

分析 (1)根据平抛运动规律列出水平方向和竖直方向的位移等式,结合几何关系求出重力加速度.忽略地球自转的影响,根据万有引力等于重力列出等式.
使物体绕着星球表面做匀速圆周运动,由万有引力定律充当向心力可求得环绕速度.
(2)由万有引力提供向心力即可求出在距离该星球表面高h处的周期.

解答 解:(1)由题意可知,是要求该星球上的“近地卫星”的绕行速度,也即为第一宇宙速度.设该星球表面处的重力加速度为g,由平抛运动规律可得:
tanθ=$\frac{y}{x}$,y=$\frac{1}{2}$gt2,x=v0t,
联立解得:g=$\frac{{2v_0^{\;}}}{t}$tanθ
对于绕该星球做匀速圆周运动的“近地卫星”,应有:mg=m  $\frac{v^2}{R}$
解得:v=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{\frac{{2{v_0}Rtanθ}}{t}}$
(2)由万有引力提供向心力:$\frac{GMm}{{{{(R+h)}^2}}}=m\frac{{4{π^2}(R+h)}}{T^2}$
推得:$T=\sqrt{\frac{{4{π^2}{{(R+h)}^3}}}{GM}}$
又  $\frac{GMm}{R^2}=mg$
有GM=gR2
所以有:$T=\sqrt{\frac{{4{π^2}{{(R+h)}^3}}}{{g{R^2}}}}=\frac{2π(R+h)}{R}\sqrt{\frac{t(R+h)}{{2{v_0}tanθ}}}$
答:(1)该星球的环绕速度是$\sqrt{\frac{{2{v_0}Rtanθ}}{t}}$;
(2)若在距离该星球表面高h处有一颗卫星绕着星球做匀速圆周运动,卫星运行的周期是$\frac{2π(R+h)}{R}\sqrt{\frac{t(R+h)}{2{v}_{0}tanθ}}$.

点评 处理平抛运动的思路就是分解.重力加速度g是天体运动研究和天体表面宏观物体运动研究联系的物理量.

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