Question

2．如图所示，A、B两物体通过一柔软且不可以伸长的软绳连接，跨在光滑小滑轮两侧，软绳与水瓶接触面平行，已知A、B两物体的质量为m，且可视为质点，软绳质量也为m，长为2L，平台离地面高围殴L，不计运动过程中的一切摩擦．初软绳全部在水平面内，现无初速释放B，A、B在重力作用下开始运动，若B触地后不再反弹．
（1）刚释放B物体时，A、B物体的加速度为多少？
（2）当B即将落地瞬间，A、B两物体的速度为多少？
（3）在A物体滑到定滑轮前过程中，试写出其加速度与运动位移的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）对AB及绳沿绳子的方向进行分析，开始下落时，沿绳子的拉力为B的重力，沿绳子由牛顿第二定律列式求解即可；
（2）B即将落地时，B及绳子的重力势能减小，由机械能守恒可求得AB两物体的速度；
（3）整体运动后，平台下方的绳子长度增长，则沿绳子方向上的拉力增大，分析x与台下绳长的关系，结合牛顿第二定律可求得加速度与位移之间的关系．

解答 解：（1）刚释放B时，整体在沿绳方向只受B的重力，则有：
mg=3ma；
解得：a=$\frac{g}{3}$；
（2）下落过程中只有重力做功，机械能守恒，B及右侧L长的绳子减小的势能转化为动能；
则有：
mgL+$\frac{mg}{2}$×$\frac{L}{2}$=$\frac{1}{2}$×3mv²；
解得：v=$\sqrt{\frac{5gL}{6}}$；
（3）设A的位移为x，则绳子垂下的长度为x；
则在B落地之前，整体沿绳受到的拉力F=mg+$\frac{x}{L}$mg；
则有牛顿第二定律可知：
F=3ma；
解得：a=$\frac{g}{3}$+$\frac{xg}{6L}$；
B落地后，即L＜x＜2L过程中：
拉力为：F=$\frac{mg}{2}$
则由牛顿第二定律可知：
$\frac{mg}{2}$=（m+$\frac{3L-x}{2L}$m）a
解得：a=$\frac{Lg}{5L-x}$
答：（1）刚释放B物体时，A、B物体的加速度为$\frac{g}{3}$；
（2）当B即将落地瞬间，A、B两物体的速度为$\sqrt{\frac{5gL}{6}}$
（3）在A物体滑到定滑轮前过程中，试写出其加速度与运动位移的函数关系式．当x≤L时；a=$\frac{g}{3}$+$\frac{xg}{6L}$；当x＞L时，a=$\frac{Lg}{5L-x}$

点评 本题考查机械能守恒定律及牛顿第二定律的应用，注意本题适用牛顿第二定律中的连接体问题，难点在于绳子的质量不能忽略；故沿绳子方向上的拉力在变化．