Question

18．如图所示，质量分别为m、2m的物体a、b通过轻绳相连跨过不计摩擦的定滑轮，均处于静止状态．a与水平面上固定的劲度系数为k的轻质弹簧相连，Q点有一挡板，若有物体与其垂直相撞会以原速率弹回，现剪断a、b之间的绳子，a开始上下往复运动，b下落至P点时会以原速率变为水平向右运动，当b静止时，a恰好首次到达最低点，已知PQ长s₀，重力加速度为g，b距P点高h，且包括落在P点这次，b经过P点的总次数不超过2次，b滑动时的动摩擦因数为μ，a、b均可看做质点，弹簧在弹性限度范围内，试求：
（l）物体a的最大速度；
（2）物体b停止的位置与P点的距离．

Answer 1

分析 （1）当弹簧弹力与a的重力相等时a的速度最大，由机械能守恒定律可以求出最大速度．
（2）由动能定理求出b在水平面上的路程，注意分别对b未到达挡板Q就在PQ上停止和b与挡板Q有一次碰撞后，在PQ上停止整个运动过程进行分析，通过计论求解．

解答 解：（1）a和弹簧构成的系统是指方向的弹簧振子，剪断绳子前，弹簧处于伸长状态，形变（伸长）量为△x₁，绳子对a沿绳向上的拉力大小等于b的重力，即 T=2mg
对a受力分析得：T-mg-k△x₁=0
解得形变量 $△{x_1}=\frac{mg}{k}$
刚剪断绳子后，弹簧对a的弹力向下，a向下运动，弹力不断减小，根据牛顿第二定律mg+F_弹=ma知a的加速度不断减小；当弹簧恢复原长后，再向下运动，弹簧被压缩，弹力向上并不断增大，根据牛顿第二定律mg-F_弹=ma，可知a的加速度不断减小．综上可知，当a的加速度减小到零时，速度最大．此时弹簧处于压缩状态，形变（压缩）量为△x₂，有mg-k△x₂=0，解得形变量        $△{x_2}=\frac{mg}{k}$
由上可知，剪断绳子时和a有最大速度时弹簧的形变量相等，即这两个状态弹性势能相等，此过程中a和弹簧组成的系统机械能守恒，重力势能减少，动能增加，弹性势能不变，故有△E_P=△E_K
即 $mg（△{x_1}+△{x_2}）=\frac{1}{2}mv_m^2$，
解得最大速度       ${v_m}=2g\sqrt{\frac{m}{k}}$
（2）剪短绳子后，b做自由落体运动，落至水平地面后先向右做匀减速运动，碰挡板后以碰前速率弹回，继续做匀减速运动，设其在水平面上滑行的路成为s，根据动能定理：mgh-μmgs=0
解得 $s=\frac{h}{μ}$．                              
①若b未碰挡板就已经静止，则b的位置与P点的距离 $d=s=\frac{h}{μ}$；   
②若b碰挡板后弹回停在P的右侧，则b的位置与P点的距离 $d=2{s_0}-s=2{s_0}-\frac{h}{μ}$
③若b碰挡板后弹回停在P的左侧，则b的位置与P点的距离 $d=s-2{s_0}=\frac{h}{μ}-2{s_0}$
答：
（l）物体a的最大速度是2g$\sqrt{\frac{m}{k}}$；
（2）①若b未碰挡板就已经静止，则b的位置与P点的距离是$\frac{h}{μ}$；②若b碰挡板后弹回停在P的右侧，则b的位置与P点的距离2s₀-$\frac{h}{μ}$；③若b碰挡板后弹回停在P的左侧，则b的位置与P点的距离是$\frac{h}{μ}$-2s₀．

点评 本题要分析清楚物体的运动过程，明确速度最大的条件：合力等于零，应用机械能守恒定律、动能定理即可正确解题；特别对第2问要注意全面分析，讨论求解．