Question

如图所示，将一质量m=0.1kg的小球自水平平台顶端O点水平抛出，小球恰好与斜面无碰撞的落到平台右侧一倾角为α=53°的光滑斜面顶端A并沿斜面下滑，斜面底端B与光滑水平轨道平滑连接，小球以不变的速率过B点后进入BC部分，再进入竖直圆轨道内侧运动．已知斜面顶端与平台的高度差h=3.2m，斜面顶端高H=15m，竖直圆轨道半径R=5m． g取10m/s²．试求：
（1）小球水平抛出的初速度v₀及斜面顶端与平台边缘的水平距离x；
（2）小球离开平台后到达斜面底端的速度大小；
（3）若竖直圆轨道光滑，求小球运动到圆轨道最高点D时对轨道的压力．
（4）若竖直圆轨道粗糙，小球运动到轨道最高点与轨道恰无作用力，求小球从圆轨道最低点运动到最高点的过程中克服摩擦力所做的功．

Answer 1

（1）研究小球作平抛运动，小球落至A点时，由平抛运动速度分解图可得：
水平速度：v₀=v_ycotα
合速度与竖直分速度的关系：v_A=

vy

sinα

小球竖直方向做自由落体运动：v_y²=2gh，h=

1

2

gt2 
小球水平方向做匀速直线运动：x=v₀t
由上式解得：v₀=6m/s       x=4.8m      v_A=10m/s          
（2）由动能定理可得小球到达斜面底端时的速度v_B
 mgH=

1

2

mvB2-

1

2

mvA2v_B=20m/s          
（3）竖直圆轨道光滑，研究小球从C点到D点，设小球到达D点时的速度为v_D
由动能定理可得-2mgR=

1

2

mvD2-

1

2

mvC2
在D点由牛顿第二定律可得：N+mg=m

vD2

R

由上面两式可得：N=3N              
由牛顿第三定律可得：小球在D点对轨道的压力N′=3N，方向竖直向上．
（4）若竖直圆轨道粗糙，小球在最高点与环作用力恰为0时，速度为

v

′D

则mg=m

vD′2

R

vD′=

gR

从最低点最高点：-mg2R+Wf=

1

2

mvD′2-

1

2

mvC2
W_f=-7.5J    克服摩擦力所做的功7.5J                  
答：（1）小球水平抛出的初速度为6m/s，斜面顶端与平台边缘的水平距离为4.8m．
（2）小球离开平台后到达斜面底端的速度大小20m/s．
（3）若竖直圆轨道光滑，小球在D点对轨道的压力N′=3N，方向竖直向上．
（4）若竖直圆轨道粗糙，小球运动到轨道最高点与轨道恰无作用力，小球克服摩擦力所做的功7.5J．