Question

1．已知地球的质量为M，地球的半径为R，地球的自转周期为T，地球表面的重力加速度为g，无线电信号的传播速度为c，如果你用卫星电话通过地球同步卫星中的转发器转发的无线电信与对方通话，则在你讲完话后听到对方的回话所需的最短时间为$\frac{4}{c}$（$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4π}}$-R）．

Answer 1

分析 同步卫星和月球都是绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=mr$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，求出轨道半径，从而得出同步卫星的高度，根据速度公式求出时间．

解答 解：地球同步卫星是相对地面静止的卫星，它绕地球运动的周期与地球自转周期T相同．
设卫星距地面的距离h，卫星绕地球做匀速圆周运动的向心力是地球对卫星的万有引力，
由牛顿运动定律和万有引力定律，可得：G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=m（R+h）（$\frac{2π}{T}$）²
解得：h=$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4π}}$-R
信号传递的最短距离是2 h，受话人听到发话人的信号后立即回话，信号又需传播2 h的距离后才能到达发话人处，
由此可知最短时间为：t=$\frac{2×2h}{c}$=$\frac{4}{c}$•（$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4π}}$-R）
根据黄金代换得：GM=gR²，
t=$\frac{4}{c}$（$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4π}}$-R）
故答案为：$\frac{4}{c}$（$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4π}}$-R）．

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=mr$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，并掌握向心力表达式的内容，注意黄金代换公式：GM=gR²的作用．