Question

如图所示，一质量为M的人站在台秤上，手拿一个质量为m、悬线长为R的小球（其中M＞m），在竖直平面内使小球做圆周运动，且小球恰好能通过圆轨道的最高点．求：
（1）小球在圆周运动过程中的最大速度；
（2）台秤示数的最大值；
（3）台秤示数的最小值．

Answer 1

分析：知道小球恰好能通过圆轨道的最高点的临界条件．
小球运动到最低点时悬线对人的拉力最大，且方向竖直向下，故台秤示数最大，
根据机械能守恒和牛顿第二定律求出拉力在竖直方向的最小值．

解答：解：（1）小球恰好能通过圆轨道的最高点，由机械能守恒及牛顿第二定律有：
mg=m

υ 2 0

R

其中υ₀表示小球在圆轨道最高点时的速度       

mυ2

2

=

mυ02

2

+2mgR
由此得小球通过最低点时的速度，亦即最大速度为 υ=

5gR

（2）小球运动到最低点时悬线对人的拉力最大，且方向竖直向下，故台秤示数最大，
小球通过最低点时，据牛顿第二定律有T-mg=

mυ2

R

解得T=6mg
所以台秤的最大示数为F=（M+6m）g
（3）当小球处于如图所示状态时，

设其速度为v₁，由机械能守恒有

mυ12

2

=

mυ02

2

+mgR(1-cosθ)
由牛顿第二定律有：T+mgcosθ=

mυ12

R

解得悬线拉力     T=3mg（1-cosθ）
其分力T_y=Tcosθ=3mgcosθ-3mgcos²θ
当cosθ=

1

2

，即θ=60°时，
台秤的最小示数为Fmin=Mg-Ty=Mg-

3

4

mg．

点评：对物体进行受力分析，运用牛顿第二定律列出力与力的关系，根据题目的条件中找到临界状态．
对于圆周运动的受力问题，我们要找出向心力的来源．