Question

9．如图所示，平面直角坐标系的y轴竖直向上，x轴上的P点与Q点关于坐标原点O对称，距离为2a．有一簇质量为m、带电量为+q的带电微粒，在xoy平面内，从P点以相同的速率斜向右上方的各个方向射出（即与x轴正方向的夹角θ，0°＜θ＜90°），经过某一个垂直于xoy平面向里、磁感应强度大小为B的有界匀强磁场区域后，最终会聚到Q点，这些微粒的运动轨迹关于y轴对称．为保证微粒的速率保持不变，需要在微粒的运动空间再施加一个匀强电场．重力加速度为g．求：
（1）匀强电场场强E的大小和方向；
（2）若微粒在磁场中运动的轨道半径为a，求与x轴正方向成30°角射出的微粒从P点运动到Q点的时间t；
（3）若微粒从P点射出时的速率为v，试推出在x＞0的区域中磁场的边界点坐标x与y之间满足的关系式．

Answer 1

分析 （1）离子进入磁场后，电场力下重力合力为0，受到洛伦兹力作用做匀速圆周运动．
（2）先根据几何关系求出进入和离开磁场时的坐标，求出粒子运动的路程，根据时间等于路程除以速率求解；
（3）根据几何关系表示出x、y与半径r的关系，带入数据即可得出x与y之间满足的关系式．

解答 解：（1）由题意可知，微粒所受电场力与重力平衡，即qE=mg
解得：$E=\frac{mg}{q}$，方向竖直向上． 
（2）根据题意画出微粒的运动轨迹如图所示，设A、C分别为微粒在磁场中运动的射入点和射出点．根据几何关系可得：
A点坐标为（$-\frac{a}{2}$，$\frac{{\sqrt{3}}}{6}a$），C点坐标为（$\frac{a}{2}$，$\frac{{\sqrt{3}}}{6}a$）
微粒运动的路程为 $s=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}a+\frac{π}{3}a$
设微粒运动的速率为v，它做匀速圆周运动，受到的洛伦兹力提供向心力，即：$Bqv=m\frac{v^2}{r}$
时间：$t=\frac{s}{v}$
解得：$t=\frac{{（2\sqrt{3}+π）m}}{3qB}$
（3）如图所示，设微粒在磁场中运动的轨道半径为r，在x＞0的区域内，设微粒离开磁场后的速度方向与x轴夹角为θ．根据几何关系可得：x=rsinθ$y=（\frac{a}{cosθ}-rtanθ）sinθ$
代入相关数据并化简得：$y=\frac{{（ax-{x^2}）Bq}}{{\sqrt{{m^2}{v^2}-{B^2}{q^2}{x^2}}}}$

答：（1）匀强电场场强大小是$\frac{mg}{q}$，方向竖直向上
    （2）微粒从P点运动到Q点的时间是$\frac{（2\sqrt{3}+π）m}{3qB}$；
    （3）微粒在x＞0的区域中飞出磁场的位置坐标x与y之间的关系式：$\frac{（ax-{x}^{2}）Bq}{\sqrt{{m}^{2}{v}^{2}-{B}^{2}{q}^{2}{x}^{2}}}$

点评 本题是带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，要求同学们能画出粒子运动的轨迹，结合几何关系求解，知道半径公式及周期公式，难度较大．