题目内容

(2009?武汉模拟)如图所示,在水平桌面上放有长木板C,C上右端是固定挡板P,在C上左端和中点处各放有小物块A和B,A、B的尺寸以及P的厚度皆可忽略不计,A、B之间和B、P之间的距离皆为L.设木板C与桌面之间无摩擦,A、C之间和B、C之间的静摩擦因数及滑动摩擦因数均为μ;A、B、C(连同挡板P)的质量相同.开始时,B和C静止,A以某一初速度向右运动.试问下列情况是否能发生?要求定量求出能发生这些情况时物块A的初速度V0应满足的条件,或定量说明不能发生的理由.
(1)物块A与B发生碰撞
(2)物块A与B发生碰撞(设为弹性碰撞)后,物块B与挡板P发生碰撞;
(3)物块B与挡板P发生碰撞(设为弹性碰撞)后,物块B与A在木板C上再发生碰撞;
(4)物块A从木板C上掉下来;
(5)物块B从木板C上掉下来.
分析:开始过程是A与C相互作用,此时可假设B与C相对静止,再通过计算假设正确,再根据动量守恒定律求出速度,再结合能量守恒定律求出它们发生的位移,从而找出与B发生碰撞的条件,其它情况的求法类似.
解答:解:(1)、以m表示物块A、B和木板C的质量,当物块A以初速度
v
 
0
向右运动时,A将受到木板施加的向左的大小为μmg的滑动摩擦力而减速,木板C则受到物块A施加的大小为μmg的滑动摩擦力和物块B施加的大小为f的摩擦力而做加速运动,物块B则因受木板C施加的摩擦力f作用而加速,设A、B、C三者的加速度分别为
a
 
A
a
 
B
a
 
C
,则由牛顿第二定律,
有μmg=m
a
 
A
,μmg-f=m
a
 
C
,f=m
a
 
B
,事实上此题中
a
 
B
=
a
 
C
,即B、C之间无相对运动,这是因为当
a
 
B
=
a
 
C
时,由上式可得f=
1
2
μmg     (1),
它小于最大静摩擦力μmg.可见静摩擦力使物块B、木板C之间不发生相对运动.
若物块A刚好与物块B不发生碰撞,则物块A运动到物块B所在处时,A与B的速度大小相等.因物块B与木板C速度相等,所以此时三者速度均相同,设为
v
 
1
,由动量守恒定律得
m
v
 
0
=3m
v
 
1
   (2),
在此过程中,设木板C运动的路程为
S
 
1
,则物块A的路程为
S
 
1
+L,如图所示,

由动能定理得
对A有
1
2
m
v
2
1
-
1
2
m
v
2
0
=-μmg(
S
 
1
+L
)       (3)
对C与B有
1
2
(2m)
v
2
1
=μm
gS
 
1
                (4)
解(3)、(4)可得
1
2
(3m)
v
2
1
-
1
2
m
v
2
0
=-μmgL          (5)式中L就是物块A相对木板C运动的路程.
解(2)、(5)得
v
 
0
=
3μmgL
             (6)
即物块A的初速度
v
 
0
=
3μmgL
时,A刚好不与B发生碰撞,若
v
 
0
3μmgL
,则A与B发生碰撞,故A与B发生碰撞的条件是
v
 
0
3μmgL
       (7)
即A与B发生碰撞的条件是
v
 
0
3μmgL

(2)、当物块A的初速度
v
 
0
满足(7)式时,A与B将发生碰撞,设碰撞的瞬间,A、B、C三者的速度分别为
v
 
A
v
 
B
v
 
C
,则有
v
 
A
v
 
B
    
v
 
B
=
v
 
C
      (8)
在物块A、B发生碰撞的极短时间内,木板C对它们的摩擦力的冲量非常小,可忽略不计.故在碰撞过程中,A与B构成的系统动量守恒,而木板C的速度保持不变,因为物块A、B间的碰撞是弹性的,系统的机械能守恒,又因为质量相等,由动量守恒和机械能守恒可以证明(证明从略),碰撞前后A、B交换速度,若碰撞刚结束时,A、B、C三者速度分别为
v
A
v
B
v
C
,则有
v
A
=
v
 
B
   
v
B
=
v
 
A
   
v
C
=
v
 
C
    (9)
由(8)、(9)式可知,物块A与木板C速度相等,保持相对静止,B相对AC向右运动,以后发生的过程相当于第1问中所进行的延续,由物块B代替A继续向右运动.
若物块B刚好与挡板P不发生碰撞,则物块B以速
v
B
从C板的中点运动到挡板P所在处时与C的速度相等.A与C的速度大小是相等的,A、B、C三者的速度相等,设此时三者的速度
v
 
2
,根据动量守恒定律有m
v
 
0
=3m
v
 
2
    (10)
A以初速度
v
 
0
开始运动,接着与B发生完全弹性碰撞,碰撞后物块A相对木板C静止,B到达P所在处这一整个过程中,先是A相对C运动的路程为L,接着是B相对C运动的路程为L,整个系统动能的改变,等于系统内部相互间的滑动摩擦力做功的代数和,即
1
2
(3m)
v
2
2
-
1
2
m
v
2
0
=-μmg.2L        (11)
解(10)、(11)两式得  
v
 
0
=
6μmgL
      (12)
即物块A的初速度
v
 
0
=
6μmgL
时,A与B碰撞,但B与P刚好不发生碰撞,
若使
v
 
0
6μmgL
,就能使B与P发生碰撞,故A与B碰撞后,物块B与挡板P发生碰撞的条件是
 
v
 
0
6μmgL
                                     (13)
即物块A与B发生碰撞(设为弹性碰撞)后,物块B与挡板P发生碰撞的条件是
v
 
0
6μmgL

(3)、若物块A的初速度
v
 
0
满足条件(13)式,则在A、B发生碰撞后,B将与挡板P发生碰撞,设在碰撞前瞬间,A、B、C三者的速度分别为
v
A
v
B
v
C
,则有
  
v
B
v
A
=
v
C
                      (14)
B与P碰撞后的瞬间,A、B、C三者的速度分别为
v
″′
A
v
″′
B
v
′″
C
,则仍类似于第2问解答中(9)的道理,有
v
″′
B
=
v
C
     
v
″′
C
=
v
B
    
v
″′
A
 
 
=
v
A
            (15)
由(14)、(15)式可知B与P刚碰撞后,物块A与B的速度相等,都小于木板C的速度,即
v
″′
C
v
A
=
v
″′
B
                                   (16)
在以后的运动过程中,木板C以较大的加速度向右做减速运动,而物块A和B以相同的较小的加速度向右做加速运动,加速度的大小分别为
a
 
C
=2μg     
a
 
A
=
a
 
B
=μg                        (17)
加速过程将持续到或者A和B与C的速度相同,三者以相同速度
1
3
v
 
0
向右做匀速运动,或者木块A从木板C上掉了下来.因此物块B与A在木板C上不可能再发生碰撞.
即物块B与挡板P发生碰撞(设为弹性碰撞)后,物块B与A在木板C上不可能再发生碰撞.
(4)、若A恰好没从木板C上掉下来,即A到达C的左端时的速度变为与C相同,这时三者的速度皆相同,以
v
 
3
表示,由动量守恒有
      3m
v
 
3
=m
v
 
0
                               (18)
从A以初速度
v
 
0
在木板C的左端开始运动,经过B与P相碰,直到A刚没从木板C的左端掉下来,这一整个过程中,系统内部先是A相对C的路程为L;接着B相对C运动的路程也是L;b与P碰后直到A刚没从木板C上掉下来,A与B相对C运动的路程也皆为L.整个系统动能的改变应等于内部相互间的滑动摩擦力做功的代数和,即
1
2
(3m)
v
2
3
-
1
2
m
v
2
0
=-μmg.4L                                     (19)
由(18)、(19)两式,得
v
 
0
=
12μgL
                                       (20)
即当物块A的初速度
v
 
0
=
12μgL
时,A刚好不会从木板C上掉下.若
v
 
0
12μgL
,则A将从木板C上掉下,故A从C上掉下的条件是
    
v
 
0
12μgL
                                        (21)
即物块A从木板C上掉下来的条件是
v
 
0
12μgL

(5)若物块A的初速度
v
 
0
满足条件(21)式,则A将从木板C上掉下来,设A刚要从木板C上掉下来时,A、B、C三者的速度分别为
v
″′
A
v
″′
B
v
C
,则有
v
″′
A
=
v
″′
B
v
″′
C
                                   (22)
这时(18)式应改写为
m
v
 
0
=2
mv
″″
A
+
mv
″″
C
                               (23)
(19)式应改写为
1
2
(2m)v
″″2
B
+
1
2
m
v
″″2
C
-
1
2
m
v
2
0
=-μmg.4L           (24)
当物块A从木板C上掉下来后,若物块B刚好不会从木板C上掉下,即当C的左端赶上B时,B与C的速度相等.设此速度为
v
 
4
,则对B、C这一系统来说,由动量守恒定律,有
v
″″
B
+m
v
″″
C
=2m
v
 
4
                              (25)
在此过程中,对这一系统来说,滑动摩擦力做功的代数和为-μmgL,由动能定理可得
1
2
(2m)v
2
4
-(
1
2
mv
″″2
B
+
1
2
mv
″″2
C
)=-μmgL             (26)
由(23)、(24)、(25)、(26)式可得
v
 
0
=4
μmgL
                                        (27)
即当
v
 
0
>4
μmgL
时,物块B刚好不能从木板C上掉下.若,则B将从木板C上掉下,故物块B从木板C上掉下来的条件是
v
 
0
μmgL
                                       (28)
即物块B从木板C上掉下来的条件是
v
 
0
μmgL
点评:解物理题的关键是对物理过程的分析,灵活运用假设思想寻找物理模型,然后根据不同过程选用相应的规律求解.
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