Question

10．如图所示，一光滑绝缘圆环轨道位于竖直平面内，半径为R，空心内径远小于R．以圆环圆心O为原点在一半面建立平面直角坐标系xOy，在第四象限加一竖直向下的匀强电场，其他象限加垂直环面向外的匀强磁场，一带电量为+q、质量为m的小球在轨道内从b点由静止释放，小球刚好能顺时针沿圆环轨道做圆周运动．
（1）求匀强磁场的电场强度E；
（2）若第二次到达最高点a，小球对轨道恰好无压力，求磁感应强度B；
（3）求小球第三次到达a点时对圆环的压力．

Answer 1

分析 （1）因为小球刚好能绕圆管做圆周运动，则在最高点的速度为零，根据动能定理求出匀强电场的电场强度．
（2）根据动能定理求出第二次到达最高点的速度，抓住重力和洛伦兹力的合力提供向心力求出磁感应强度的大小．
（3）根据动能定理求出第三次到达最高点的速度，根据径向的合力提供向心力求出圆管对小球的作用力，从而得出小球对圆管的压力．

解答 解：（1）小球第一次可刚过最高点，此时速度为：v₁=0，
由动能定理得：qER-mgR=0，解得：$E=\frac{mg}{q}$；
（2）小球第二次过最高点，此时速度为v₂，
由动能定理得：$qER=\frac{1}{2}mv_2^2$-0，
由牛顿第二定律得：$mg+q{v_2}B=m\frac{v_2^2}{R}$，
由以上两式可解得：$B=\frac{m}{q}\sqrt{\frac{g}{2R}}$；
（3）小球第三次过最高点速度v₃，设球受圆环向下的压力F_N，
由动能定理得：$2qER=\frac{1}{2}mv_3^2$-0，
由牛顿第二定律得：$mg+q{v_3}B+{F_N}=m\frac{v_3^2}{R}$，
解得：${F_N}=（3-\sqrt{2}）mg$；
答：（1）匀强磁场的电场强度E为$\frac{mg}{q}$；
（2）若第二次到达最高点a，小球对轨道恰好无压力，磁感应强度B为$\frac{m}{q}$$\sqrt{\frac{g}{2R}}$；
（3）小球第三次到达a点时对圆环的压力为（3-$\sqrt{2}$）mg．

点评 本题综合考查了动能定理、牛顿第二定律，综合性较强，知道在最高点小球对轨道压力为零时向心力的来源．