Question

如图所示，质量m_B=3.5kg的物体B通过一轻弹簧固连在地面上，弹簧的劲度系数k=100N/m．一轻绳一端与物体B连接，绕过无摩擦的两个轻质小定滑轮O₁、O₂后，另一端与套在光滑直杆顶端的、质量m_A=1.6kg的小球A连接．已知直杆固定，杆长L为0.8m，且与水平面的夹角θ=37°．初始时使小球A静止不动，与A端相连的绳子保持水平，此时绳子中的张力F为45N．已知AO₁=0.5m，重力加速度g取10m/s²，绳子不可伸长．现将小球A从静止释放，则：
（1）在释放小球A之前弹簧的形变量；
（2）若直线CO₁与杆垂直，求物体A运动到C点的过程中绳子拉力对物体A所做的功；
（3）求小球A运动到底端D点时的速度．

Answer 1

分析：（1）释放A球前，系统处于静止状态，隔离物体B便可求出弹簧的弹力，进而由胡克定律求得弹簧的形变量
（2）小球运动到C点的过程中，绳的拉力为变力，应用动能定理求解变力的功，同时考虑A、B、弹簧组成的相互作用的系统机械能守恒
（3）A球的下降过程，A、B、弹簧组成的相互作用的系统机械能守恒，注意A、B的速度之间的牵连关系，列出机械能守恒的方程可解．

解答：解：（1）释放小球前，B处于静止状态，由于绳子拉力大于重力，故弹簧被拉伸，设弹簧形变量为x有：
kx=F-m_Bg
所以，x=0.1m
（2）对A球从顶点运动到C的过程应用动能定理得：
W+m_Agh=

1

2

m_A

v

2 A

-0①
其中，h=xco1cos37°
而xco1=xAO1sin37°=0.3m
物体B下降的高度h^′=xAO1-xco1=0.2m②
由此可知，弹簧此时被压缩了0.1m，此时弹簧弹性势能与初状态相等，对于A、B、和弹簧组成的系统机械能守恒：
m_Agh+m_Bgh^′=

1

2

m_A

v

2 A

+

1

2

m_B

v

2 B

③
由题意知，小球A运动方向与绳垂直，此瞬间B物体速度v_B=0④
由①②③④得，W=7J
（3）由题意知，杆长L=0.8m，故∠CDO₁=θ=37°
故DO₁=AO₁，当A到达D时，弹簧弹性势能与初状态相等，物体B又回到原位置，在D点对A的速度沿平行于绳和垂直于绳两方向进行分解，
可得，平行于绳方向的速度即为B的速度，由几何关系得：

v

′ B

=

v

′ A

cos37°⑤
对于整个下降过程由机械能守恒得：m_AgLsin37°=

1

2

m_A

v

′2 A

+

1

2

m_B

v

′2 B

⑥
由⑤⑥得：

v

′ A

=2m/s
答：（1）弹簧形变量为0.1m
（2）绳子拉力对物体A所做的功7J
（3）小球A运动到底端D点时的速度为2m/s

点评：涉及弹簧的问题往往要向机械能守恒定律方向考虑，注意一个弹簧的弹性势能仅仅由其形变量决定，与是拉伸还是压缩无关；不在同一直线的连接体的运动，要运用运动的分解的办法解决两者的速度间的关系，往往将速度沿着绳的方向与垂直于绳的方向分解