题目内容

一足够长的矩形区域abcd内有磁感应强度为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场，矩形区域的左边界ad宽为L，现从ad中点O垂直于磁场射入一带电粒子，速度大小为v0，方向与ad边夹角为θ=30°，如图所示．已知粒子的电荷量为q，质量为m（重力忽略不计）．
（1）若粒子带负电，且恰好能从d点射出磁场，求v0的大小；
（2）若粒子带正电，使粒子能从ab边射出磁场，求v0的取值范围，以及此范围内粒子在磁场中运动时间t的范围．
分析：（1）根据牛顿第二定律，由洛伦兹力提供向心力，结合几何关系可确定半径的范围，即可求解；
（2）根据题意确定运动轨迹，再由圆心角与周期公式，即可确定最长运动的时间；根据半径公式与半径的取值，即可求解．
解答：解：（1）若粒子带负电，且恰好能从d点射出磁场，它运动的轨迹如图1，

则运动的半径：R=
L
2
，
运动的过程洛伦兹力提供向心力，得：qv0B=
m
v
2
0
R

整理得：ν0=
BqL
2m

（2）若粒子带正电，粒子运动的轨迹如右图所示，当粒子的速度大于与R1相对应的速度v1时，粒子将从dc边射出．
由几何关系可得：R1=L ①
由洛仑兹力和向心力公式可得：qv1B=
m
v
2
1
R1
  ②
当粒子的速度小于与R2相对应的速度v2时，粒子将从ad边射出．
由几何关系可得：
1
2
L-R2=
1
2
R2  ③
由③式解得：R2=
1
3
L    ④
由洛仑兹力和向心力公式可得：qv2B=
m
v
2
2
R2
   ⑤
将①④式分别代入②⑤式可解得：v1=
qBL
m
；v2=
qBL
3m
    ⑥
所以v0的取值范围是
qBL
3m
≤v0≤
qBL
m
   ⑦
从图中可以看出，当轨迹的半径对应R1时从ab边上射出使用的时间最短，此时对应的圆心角为：
 θ=180°-30°=150°
由公式可得：T=
2πR
v
=
2πm
qB
⑧
根据周期与运动时间的关系得：
θ
360°
=
t1
T

整理得：t1=
5πm
6qB
  ⑨
粒子在磁场中运动的时间最长，其做圆周运动的圆心角必然最大，在答图中，当粒子的速度小于v2时，粒子从ad边的不同位置射出时，其半径虽不同，但圆心角的夹角都是300°=
5
6
×2π，所以粒子在磁场中的运动时间也是
5T
6
，此即粒子在磁场中运动的最长时间．
所以粒子运动的最长时间为：t2=
5T
6
=
5πm
3qB
 ⑩
与粒子在磁场中运行时间相对应的t的大小范围是
5πm
6Bq
＜t≤
5πm
3Bq
：
答：（1）ν0=
BqL
2m
（2）v0的取值范围
BqL
3m
≤ν0≤
BqL
m
，粒子在磁场中运动时间t的范围
5πm
6Bq
＜t≤
5πm
3Bq
．
点评：考查牛顿第二定律的应用，掌握几何关系在题中的运用，理解在磁场中运动时间与圆心角的关系．注意本题关键是画出正确的运动轨迹
练习册系列答案
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选做题．在以下两题中选择一题完成．多做不加分
如图所示，足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，现从ad边的中心O点处，垂直磁场方向射入一速度为v0的带正电粒子，v0与ad边的夹角为30°．已知粒子质量为m，带电量为q，ad边长为L，不计粒子的重力．
（1）求要使粒子能从ab边射出磁场，v0的大小范围．
（2）粒子在磁场中运动的最长时间是多少？在这种情况下，粒子将从什么范围射出磁场？
19-B汤姆生用来测定电子的比荷（电子的电荷量与质量之比）的实验装置如图所示，真空管内的阴极K发出的电子（不计初速、重力和电子间的相互作用）经加速电压加速后，穿过A′中心的小孔沿中心轴O1O的方向进入到两块水平正对放置的平行极板P和P'间的区域．当极板间不加偏转电压时，电子束打在荧光屏的中心O点处，形成了一个亮点；加上偏转电压U后，亮点偏离到O′点，（O′与O点的竖直间距为d，水平间距可忽略不计．此时，在P和P′间的区域，再加上一个方向垂直于纸面向里的匀强磁场．调节磁场的强弱，当磁感应强度的大小为B时，亮点重新回到O点．已知极板水平方向的长度为L1，极板间距为b，极板右端到荧光屏的距离为L2（如图所示）．
（1）求打在荧光屏O点的电子速度的大小．
（2）推导出电子的比荷的表达式
如图，一足够长的固定斜面与水平方向成α=37？角，空间有垂直于斜面的无限多个匀强磁场，其磁感应强度的大小均为B=0.5T，相邻磁场区域的磁场方向相反．每个磁场区域的宽度均为L1=0.1m，磁场区的边界均与斜面底边平行．现有一质量为m=0.05kg、电阻为R=0.5Ω的矩形金属框abcd沿此斜面下滑，已知ad=L1=0.1m，ab=L2=0.2m，下滑过程中，金属框的ab边始终与斜面底边平行，金属框与斜面间的动摩擦因数为μ=0.2，金属框下滑距离s=3m时速度达到最大，求：
（1）金属框下滑的最大速度；
（2）当金属框下滑的加速度为a=2m/s2时，金属框的焦耳热功率；
（3）从开始下滑到速度达到最大的过程中金属框中产生的焦耳热量．
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（1）求打在荧光屏O点的电子速度的大小．
（2）推导出电子的比荷的表达式

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如图，一足够长的固定斜面与水平方向成α=37？角，空间有垂直于斜面的无限多个匀强磁场，其磁感应强度的大小均为B=0.5T，相邻磁场区域的磁场方向相反．每个磁场区域的宽度均为L1=0.1m，磁场区的边界均与斜面底边平行．现有一质量为m=0.05kg、电阻为R=0.5Ω的矩形金属框abcd沿此斜面下滑，已知ad=L1=0.1m，ab=L2=0.2m，下滑过程中，金属框的ab边始终与斜面底边平行，金属框与斜面间的动摩擦因数为μ=0.2，金属框下滑距离s=3m时速度达到最大，求：
（1）金属框下滑的最大速度；
（2）当金属框下滑的加速度为a=2m/s2时，金属框的焦耳热功率；
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如图所示，足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，现从ad边的中心O点处，垂直磁场方向射入一速度为v的带正电粒子，v与ad边的夹角为30°．已知粒子质量为m，带电量为q，ad边长为L，不计粒子的重力．
（1）求要使粒子能从ab边射出磁场，v的大小范围．
（2）粒子在磁场中运动的最长时间是多少？在这种情况下，粒子将从什么范围射出磁场？
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（1）求打在荧光屏O点的电子速度的大小．
（2）推导出电子的比荷的表达式

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