Question

如图所示，在水平桌面上固定着一个光滑圆轨道，在轨道的B点静止着一个质量为m₂的弹性小球乙，另一个质量为m₁的弹性小球甲以初速v₀运动，与乙球发生第一次碰撞后，恰在C点发生第二次碰撞．则甲、乙两球的质量之比m₁：m₂等于（　　）

• A、5：3
• B、9：1
• C、1：7
• D、2：3

Answer 1

分析：m₁小球可能直接由A到B与m₂小球碰撞，也可能由A到D到C再到B与m₂小球碰撞，碰撞过程遵守动量守恒和机械能守恒，由两大守恒列方程得到碰撞后速度关系式，再由圆周知识确定碰撞后速度大小之比，再求解质量之比．

解答：解：设碰撞后m₁、m₂的速度分别为v₁、v₂．
第一种情况：m₁小球由A到B撞m₂，且m₁碰撞后反向，以v₀方向为正，由动量守恒定律得：
m₁v₀=m₂v₂-m₁v₁…①
因为恰在C点发生第二次碰撞，m₁运动

3

4

周，m₂运动

1

4

周，而在相同时间内，线速度大小与路程成正比，则有：
3v₂=v₁…②
且m₁、m₂为弹性球发生弹性碰撞，由机械能守恒得：

1

2

m₁v₀²=

1

2

m₁v₁²+

1

2

m₂v₂²…③
将②代人①③得：
m₁（v₀+3v₂）=m₂v₂
m₁（v₀²-9v₂²）=m₂v₂²
两式相除得：v₀=4v₂
再代入①解得：m₁：m₂=1：7
第二种情况：m₁小球由A到B撞m₂，且碰撞后同向，v₀方向为正，由动量守恒定律得：m₁v₀=m₂v₂+m₁v₁ …④
因为恰在C点发生第二次碰撞，m₁运动

1

4

周，m₂运动

5

4

周，故有v₂=5v₁ …⑤
由机械能守恒得：

1

2

m₁v₀²=

1

2

m₁v₁²+

1

2

m₂v₂²…⑥
解得：

m1

m2

=

5

3

第三种情况：m₁小球由A到D到C再到B撞m₂，且m₁碰撞后反向．
以v₀方向为正，由动量守恒定律得：
  m₁v₀=m₂v₂-m₁v₁…⑦
因为恰在C点发生第二次碰撞，m₂运动

3

4

周，m₁运动

1

4

周，故有：
  v₂=3v₁…⑧
且m₁、m₂为弹性球发生弹性碰撞，由机械能守恒得：

1

2

m₁v₀²=

1

2

m₁v₁²+

1

2

m₂v₂²…⑧
解得：m₁：m₂=3：5
故选：AC．

点评：本题碰撞前小球m₁的运动方向可能存在两种情况，碰撞遵守动量守恒和机械能守恒．关键是根据圆周运动知识的规律研究碰撞后速度的关系．