Question

今年2月28日乌鲁木齐开往阿克苏的旅客列车遭遇浮尘天气，由于瞬时大风造成第9至19节车厢脱轨，当时的风力达13级，瞬间最大风速达27.9m/s．根据流体力学知识，流体对物体的作用力可用f=αρ₀Av²来表达．其中α为一系数，A为物体的截面积，ρ₀为空气密度，v为物体相对于流体的速
度．已知空气密度ρ₀=1.25kg/m³，球体积公式为V=

4

3

πr³．
（1）若有一个特制的风力发电机能在如此恶劣的情况下工作，它将空气的动能转化为电能的效率为20%，有效受风面积为4.0m²，则此发电机在风速为27.9m/s时输出的电功率为多大？（α=0.5）
（2）若某次大风使空气中悬浮微粒浓度达到了5.8×10^-6kg/m³，悬浮颗粒的平均密度ρ’为2.0×10³kg/m³．悬浮微粒中约 

1

50

为可吸入颗粒，其平均直径为5×10^-8m，求：1.0m³空气中约含有多少颗可吸入颗粒？
（3）若沙尘颗粒的密度ρ_s=2.8×10³kg/m³，沙尘颗粒为球形，半径r=2.5×10^-4m，地球表面处α=0.45，试估算地面附近形成扬沙天气的风速至少为多少？．
（4）若在大风中有一密度为ρ的立方体恰能被水平方向风力吹得翻倒，推算该物体所受重力与风速的几次方成正比，并请用此结论简要解释火车在大风中脱轨的原因．

Answer 1

分析：（1）空气动能的能的20%转化为电能，根据能量守恒定律列式求解即可；
（2）先求解1m³气体中沙尘的总质量，然后再求解沙尘的总体积，求解出单个平均体积，得到可吸入颗粒；
（3）流体中向各个方向都有压力，当风力f和沙粒的重力满足：f≥mg关系时，方能形成扬沙天气；
（4）当风力的力矩M_风等于立方体重力矩M_G时，立方体将翻倒，根据力矩平衡条件列式求解即可．

解答：解：（1）输出的电功率为：P=f?v?η=αρ₀Av²?v?η=αρ₀Av³η，式中系数α=0.5  
所以  P=0.5×1.25×4×27.9³×0.2 W=1.1×10⁴ W 
（2）V_空=1m³的空气中悬浮微粒的质量为   m=ρ_浓V_空=5.8×10^-8×1kg=5.8×10^-8 kg
悬浮微粒的总体积   V=

m

ρ′

=

5.8×10-8

2×103

kg=2.9×10^-11 m³    
单个悬浮微粒的体积
V₀=

4

3

πr³=

4

3

×3.14×（ 

5×10-8

2

 ）³ m³=6.5×10^-23 m³ 
1m³中可吸入颗粒数  n=

η′V

V0

=

\f(1

50

×2.9×10-11，6.5×10-23)=8.9×10¹¹ 个 
（3）当风力f 和沙粒的重力满足：f≥mg 关系时，方能形成扬沙天气，即
αρ₀Av²=αρ₀πr²v²≥ρ_s×

4

3

π r³×g  
得  v≥

4ρsrg 3αρ0

≈4.07 m/s  
（4）设立方体边长为L、重力为G，当风力的力矩M_风等于立方体重力矩M_G时，立方体将翻倒，所以
f×

L

2

=G×

L

2

    
式中   f=αρ₀Av²=αρ₀L²v²；G=mg=ρVg=ρL³g
得      αρ₀L²v²=ρL³g  
即    L=

αρ0v2

ρg

   
因为  G=ρL³g=ρ×（ 

αρ0v2

ρg

）³×g=

α3 ρ 3 0

ρ2g2

v⁶，可见 G∝v⁶   
所以风速增大时，风力f将急剧增加，从而将火车吹翻，造成脱轨事故． 
答：（1）此发电机在风速为27.9m/s时输出的电功率为1.1×10⁴ W；
（2）1.0m³空气中约含有8.9×10¹¹颗可吸入颗粒；
（3）地面附近形成扬沙天气的风速至少为4.07 m/s；
（4）该物体所受重力与风速的六次方成正比，风速增大时，风力f将急剧增加，从而将火车吹翻，造成脱轨事故．

点评：本题四个小问考查的内容各不相同，关键明确流体中向各个方向的压强和压力均相等，同时要能结合能量守恒定律、共点力平衡条件、力矩平衡条件列式求解，较难．