Question

13．如图所示，地面和半圆轨道面PTQ均光滑．质量M=1kg、长L=4m的小车放在地面上，右端与墙壁的距离为s=3m，小车上表面与半圆轨道最低点P的切线相平．现有一质量m=2kg的滑块（不计大小）以v₀=6m/s的初速度滑上小车左端，带动小车向右运动．小车与墙壁碰撞时即被粘在墙壁上，已知滑块与小车表面的滑动摩擦因数μ=0.2，g取10m/s²．求：
（1）判断小车与墙壁碰撞前是否已与滑块相对静止并求小车与墙壁碰撞时滑块的速度；
（2）若滑块在圆轨道滑动的过程中不脱离轨道，求半圆轨道半径R的取值范围．

Answer 1

分析 （1）假设小车与墙壁碰撞前有共同速度，根据牛顿第二定律和运动学公式求出此过程中滑块与小车的相对位移，判断小车与墙壁碰撞前滑块与小车的速度是否相同，并求出小车与墙壁碰撞时的速度；
（2）若滑块恰能滑过圆的最高点，由重力提供向心力，由牛顿第二定律求出滑块经过最高点时的速度，根据动能定理求出轨道半径；若滑块恰好滑至$\frac{1}{4}$圆弧到达T点时就停止，滑块也能沿圆轨道运动而不脱离圆轨道．根据动能定理求解半径，即能得到半径的条件．

解答 解：（1）由牛顿第二定律，对滑块：-μmg=ma₁          
对小车：μmg=Ma₂           
但滑块相对小车静止时，两者速度相等，即：
v₀+a₁t=a₂t                   
此时 v₁=v₂=4m/s               
滑块的位移为：s₁=v₀t+$\frac{1}{2}$a₁t²      
滑块与小车的相对位移为：L₁=s₁-s₂           
联立解得，L₁=3m，s₂=2m                   
因L₁＜L，s₂＜s，说明小车与墙壁碰撞前滑块与小车已具有共同速度，且共速时小车与墙壁还未发生碰撞，故小车与墙壁碰撞时的速度为：V_t=4m/s                                   
（2）与墙碰后滑块将在小车上继续向右做初速度为v₁=4m/s，位移为L₂=L-L₁=1m的匀减速运动，然后滑上圆轨道的最低点P．
若滑块恰能滑过圆的最高点，设滑至最高点的速度为v，临界条件为：Mg=$m\frac{{v}^{2}}{R}$                      
根据动能定理，有
-μmgL₂-mg•2R=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv₁²        
代入数据解得 R=0.24m                       
若滑块恰好滑至$\frac{1}{4}$圆弧到达T点时就停止，则滑块也能沿圆轨道运动而不脱离圆轨道．
根据动能定理，有
-μmgL₂-mgR=0-$\frac{1}{2}$mv₁²               
代入数据解得R=0.6m                           
综上所述，滑块在圆轨道运动过程中不脱离圆轨道，则半圆轨道的半径必须满足：
R≤0.24m或R≥0.60m                    
答：（1）小车与墙壁碰撞前滑块与小车已具有共同速度，速度大小为4m/s．（2）半圆轨道半径R的取值范围为R≤0.24m或R≥0.60m．

点评 本题通过计算分析小车与墙壁碰撞前滑块与小车的速度是否相同是难点．第2题容易只考虑滑块通过最高点的情况，而遗漏滑块恰好滑至$\frac{1}{4}$圆弧到达T点时停止的情况，要培养自己分析隐含的临界状态的能力．