Question

如图所示，箱子a连同固定在箱子底部的竖直杆b的总质量M=10kg．箱子内部高度H=3.6m，杆长h=2.0m，杆的顶端为Q点．另有一内孔略大于直杆截面的铁环从箱子顶部P点以v₀=4m/s的初速度落下，正好套在杆上沿杆运动，铁环第一次被箱子底部弹起后恰好能重新返回到P点，小铁环的质量为m=2kg．（不计铁环与箱底碰撞时的能量损失，g取10m/s²）
（1）求在沿杆运动的过程中，铁环受到的摩擦力f大小是多少？
（2）设铁环在t₀=0时刻释放，t₁时刻第一次到达Q点，t₂时刻第一次到达杆底部，t₃时刻第二次到达Q点，t₄时刻恰好回到P点．请在图（b）给定的坐标中，画出0～t₄时间内箱子对地面压力的变化图象；
（3）求从开始下落到最终停止在箱底，铁环运动的总路程s是多少？

Answer 1

分析：（1）从P运动到再返回P点，此过程重力做功为零，只有摩擦力做功，可由动能定理得到摩擦力f
（2）求出摩擦力后，由t₀=0时刻释放，t₁时刻第一次到达Q点，t₂时刻第一次到达杆底部，t₃时刻第二次到达Q点，t₄时刻恰好回到P点，可知在此四个时间段内的摩擦力，情况从而得出对应时间段内的支持力．
（3）铁环下落下在反弹，然后再落下就是第三次到Q点，由动能定理判断其能不能再次反弹回到Q点，若可以，则可由动能定理求得第四次到达Q点的动能，然后求得上升的距离，然后再依据铁环第四次到达Q点的动能判定其能不能第五次到Q点，若还可以，则继续依照此思路判定，知道判定出来不能再次反弹回到Q点为止，则由动能定理可以求得此过程中摩擦做功的路程，再加上几次（次数是由前面的判定得出的）通过PQ段的高度和，两者相加为环经过的总路程．

解答：解：（1）从P运动到再返回P点，此过程重力做功为零，由动能定理：-2fh=0-

1

2

mv₀²
解得：f=4N
（2）由题知铁环在t₀=0时刻释放，t₁时刻第一次到达Q点，t₂时刻第一次到达杆底部，t₃时刻第二次到达Q点，t₄时刻恰好回到P点．故
0～t₁时间内，杆对地的压力等于重力，故箱子对地的压力为：100N
t₁～t₂时间内，杆还受环的摩擦力向下，故箱子对地的压力为：100N+4N=104N
t₂～t₃时间内，杆受环的摩擦力向上，故箱子对地的压力为：100N-4N=96N
t₃～t₄时间内，杆对地的压力等于重力，故箱子对地的压力为：100N
则箱子对地面压力的变化图象如图（见右图）
（3）铁环第三次到达Q点时（向下 运动）的动能为：E_k1=mg（H-h）=32J＞2fh
铁环第四次到达Q点时（向上运动）的动能为：E_k2=E_k1-2fh=16J，
设小环在空中再次上升的距离为h′，则有：
-mgh′=0-E_k2，可解得h′=0.8m
铁环第四次到达Q点时（向下运动）的动能为：E_k3=E_k2=16J≤2 fh
之后铁环将始终沿直杆运动直至停止，设之后铁环沿直杆运动的距离为x，则有：
mgh-fx=0-E_k3
解得：x=14m
故铁环的总路程为：s=3H+h+2 h′+x=28.4m
答：（1）求在沿杆运动的过程中，铁环受到的摩擦力f大小是4N
（2）如图
（3）求从开始下落到最终停止在箱底，铁环运动的总路程s是28.4m

点评：本题比较复杂的部分是在第三问，这里需要多次判定，知道判定出来铁环不能再次回到Q，利用这个次数，来求得通过Q点以上的路程，和在摩擦力作用下通过的路程（此段应用的是摩擦力做功等于力乘以路程，这是摩擦力做功的特征），相加才能得到总路程．易错点也是这一问．