Question

如图所示，P为质量为m=1kg的物块，Q为位于水平地面上的质量为M=4kg的特殊平板，平板与地面间的动摩因数μ=0.02．在板上表面的上方，存在一定厚度的“相互作用区域”，区域的上边界为MN．P刚从距高h=5m处由静止开始自由落下时，板Q向右运动的速度为v_o=4m/s．当物块P进入相互作用区域时，P、Q之间有相互作用的恒力F=kmg，其中Q对P的作用竖直向上，k=21，F对P的作用使P刚好不与Q的上表面接触．在水平方向上，P、Q之间没有相互作用力，板Q足够长，空气阻力不计．（ 取g=10m/s²，以下计算结果均保留两位有效数字）求：
（1）P第1次落到MN边界的时间t和第一次在相互作用区域中运动的时间T；
（2）P第2次经过MN边界时板Q的速度v；
（3）从P第1次经过MN边界到第2次经过MN边界的过程中，P、Q组成系统损失的机械能△E；
（4）当板Q速度为零时，P一共回到出发点几次？

Answer 1

分析：（1）物块P在到达MN边界前做自由落体运动，在相互作用区域先减速运动，然后反向加速运动，因此根据运动学规律可正确求解．
（2）注意当物块P到达相互作用区域时，Q对地面的压力增大，因此摩擦力发生变化，其运动的加速度也发生变化，理清其加速度的变化情况，然后根据运动规律求解．
（3）根据功能关系可以求出P、Q组成系统损失的机械能△E．
（4）物块P进入相互作用区域和离开时加速度不同，而且具有周期性，然后根据速度与时间的关系求解即可．

解答：解：（1）P自由落下第一次到达边界MN时：
h=

1

2

gt2，
所以：t=

2h g

=1s
P到达边界MN时速度：vP=

2gh

=10m/s
P进入相互作用区域时，kmg-mg=ma，a=（k-1）g=200m/s²    
P第一次进入相互作用区域减速到零后又向上加速，以v_P速度大小再次越过MN，所以运动时：
T=

2vP

a

=0.1s
故P第1次落到MN边界的时间t=1s，第一次在相互作用区域中运动的时间T=0.1s．
（2）上面分析知P先自由下落，以v_P进入相互作用区域，减速到零后又向上加速，以v_P速度大小再次越过MN，然后做竖直上抛运动回到原出发点，接着又重复上述运动过程．
每当P从出发点运动到MN的时间t内，板Q加速度a₁向左，根据牛顿第二定律得：
a1=

μMg

M

=μg=0..2m/s2
每当P在相互作用区中运动的时间T内，板Q加速度a₂向左，根据牛顿第二定律得：
a2=

μ(kmg+Mg)

M

=1.25m/s2
P第2次经过MN边界时，板Q的速度：
v=v₀-a₁t-a₂T=3.7m/s
故P第2次经过MN边界时板Q的速度v=3.7m/s．
（3）P第1次经过MN边界时，板Q的速度：
v₁=v₀-a₁t=3.8m/s
△E=

1

2

M

v

2 1

-

1

2

Mv2=15J
故P、Q组成系统损失的机械能△E=15J．
（4）设板Q速度为零时，P一共回到出发点n次．由以上分析得：
v₀-2na₁t-na₂T=0
代入数据，解得n=7.6，故n取7 
故当板Q速度为零时，P一共回到出发点7次．

点评：本题的难点是对Q正确进行受力分析，弄清楚其加速度的变化，从而明确运动规律，然后根据运动学规律或者功能关系求解．