Question

17．如图所示，某种透明物质制成的直角三棱镜ABC，光在透明物质中的传播速度为2.4×10⁸ m/s，一束光线在纸面内垂直AB面射入棱镜，发现光线刚好不能从AC面射出，光在真空中传播速度为3.0×10⁸ m/s，sin53°=0.8，cos53°=0.6，求：
（i）透明物质的折射率和直角三棱镜∠A的大小；
（ii）光线从BC面首次射出时的折射角α．（结果可用α的三角函数表示）

Answer 1

分析 （i）已知光在透明物质中的传播速度为2.4×10⁸ m/s，根据公式n=$\frac{c}{v}$求透明物质的折射率n．光线刚好不能从AC面射出，说明光线在AC面发生了全反射，入射角等于临界角C，由临界角公式sinC=$\frac{1}{n}$求出临界角C，再由几何关系求出直角三棱镜∠A的大小；
（i）由几何关系求出光线射到BC上的入射角，再由折射定律求折射角α．

解答 解：（i）光在透明物质中的传播速度为 v=2.4×10⁸ m/s
则透明物质的折射率 n=$\frac{c}{v}$=$\frac{3.0×1{0}^{8}}{2.4×1{0}^{8}}$=$\frac{5}{4}$
由题意可知，光线从AB面垂直射入，恰好在AC面发生全反射，光路图如图所示．
设该透明物质的临界角为C，则sinC=$\frac{1}{n}$=$\frac{4}{5}$，C=53°
由几何关系可知：∠A=∠C=53°
（ii）由几何关系知：光线在CB面上的入射角 β=37°＜C
所以光线从BC面首次射出
由折射定律知：n=$\frac{sinα}{sinβ}$
解得：sin α=0.75
则 α=arcsin0.75
答：
（i）透明物质的折射率是$\frac{5}{4}$，直角三棱镜∠A的大小是53°；
（ii）光线从BC面首次射出时的折射角α是arcsin0.75．

点评 本题是几何光学问题，关键要全反射条件及临界角与折射率的大小关系sinC=$\frac{1}{n}$．当光线从介质射入空气时就要考虑能否发生全反射．