Question

游乐场的过山车可以底朝上在圆轨道上运行，游客却不会掉下来。我们可以把它抽象成如图所示的由曲面轨道和圆轨道平滑连接的模型（不计摩擦和空气阻力）。若质量为m的小球从曲面轨道上的P点由静止开始下滑，并且可以顺利通过半径为R的圆轨道的最高点A。已知P点与B点的高度差h=3R，求：

（1）小球通过最低点B时速度有多大？

（2）小球通过B点时受到圆轨道支持力有多大？

（3）若小球在运动中需要考虑摩擦和空气阻力，当小球从P点由静止开始下滑，且刚好通过最高点A，则小球从P点运动到A点的过程中克服摩擦和空气阻力所做的功是多少？

Answer 1

（1）

（2）

（3）

解析:

（1）设小球通过B点的速度为v₁，在不考虑摩擦和空气阻力情况下，由P点运动到B点的过程中只有重力做功，机械能守恒：

解得，小球通过B点的速度:

 

（2）设小球在B点受到轨道的支持力为F，由牛顿第二定律：

 

代入数据，解得：        

（3）在考虑摩擦和空气阻力情况下，当小球刚好通过A点时，

由牛顿第二定律得:

                      

整理得小球刚好通过A点时的速度为：    

设小球从P点运动到A点的过程中，重力做功为W_G，克服阻力做功为，由动能定理：  

有：              

由题意可知：       

联立解得：