Question

游乐场的过山车可以底朝上在圆轨道运行，游客却不会掉下来（如图甲）．我们可以把它抽象成图乙所示的由曲面轨道和圆轨道平滑连接的模型（不计摩擦和空气阻力）．若质量为m的小球从曲面轨道上的P点由静止开始下滑，并且可以顺利通过半径为R的圆轨道的最高点A．已知P点与B点的高度差h=3R，求：
①小球通过最低点B时速度有多大？
②小球通过B点时受到圆轨道支持力有多大？
③小球通过最高点A时的动能有多大？

Answer 1

分析：①欲求B点的速度，只需对于A到B过程应用动能定理或者是机械能守恒都可以；
②先以小球为研究对象，利用牛顿第二定律求出轨道对小球的弹力，由牛顿第三定律知道小球对轨道的压力；
③首先求出小球通过最高点A点时的动能，再应用机械能守恒定律就可以了．

解答：解：①设小球通过B点的速度为v₁，根据机械能守恒定律：
  mgh=

1

2

m

v

2 1

解得：v₁=

2gh

=

6gR

②设小球在B点受到轨道的支持力为F，由牛顿第二定律：
  F-mg=m

v 2 1

R

解得：F=7mg                                 
③设小球通过A点时的动能为E_kA，由机械能守恒定律：
  mgh=mg?2R+E_kA
解得：E_kA=mgR  （或

1

3

mgh）          
答：
①小球通过最低点B时速度为

6gR

．
②小球通过B点时受到圆轨道支持力为7mg．
③小球通过最高点A时的动能为mgR（或

1

3

mgh）．

点评：本题考查动能定理和圆周运动中向心力的分析，第二问中极容易漏掉牛顿第三定律的应用．