Question

20．如右图所示，一块质量为M=2kg?长为L=1m的匀质木板放在很长的光滑水平桌面上，板的左端有一质量为m=0.5kg的物块，物块上连接一根很长的细绳，细绳跨过位于桌面边缘的定滑轮，某人以速度v=1m/s向下拉绳，物块最多只能到达板的中点，而且此时板的右端尚未到达桌边定滑轮处．g取10m/s²，求：
（1）物块与板间的动摩擦因数μ₁；
（2）若板与桌面间有摩擦，为使物块能到板的右端，板与桌面的动摩擦因数μ₂的范围．

Answer 1

分析 （1）木板先做加速运动们最后做匀速运动，当两者速度达到相等时，木块相对于木板不再发生运动，利用运动学公式及牛顿第二定律即可求得摩擦因数；
（2）当木块刚好达到木板最右端时，由牛顿运动学公式及牛顿第二定律即可求的最小摩擦因数；

解答 解：（1）若人以恒定速度v=1m/s向下匀速拉绳，木板先向右做匀加速运动，物块到达板的中点后，物块和木板一起以1m/s匀速．
设M加速时间为t₁，则m向右位移为x₁=vt₁  
木板向右的位移为x₂=$\frac{v}{2}t$₁
由题意得x₁-x₂=$\frac{L}{2}$
由以上三式代入数据可得t₁=1s 
M加速度：$a=\frac{v}{t_1}=1m/{s^2}$
由牛顿第二定律得：μ₁mg=Ma
代入数据解得：μ₁=0.4
（2）如果板与桌面有摩擦，因为M与桌面摩擦因数越大，m越易从右端滑下，所以当m滑到M右端两者刚好共速时摩擦因数最小，设为μ₀，且物块在板上滑行的时间为t₂．
对木板由牛顿第二定律得：μ₁mg-μ₀（M+m）g=Ma₁，
而v=a₁t₂
解得：${t_2}=\frac{Mv}{{{μ_1}mg-{μ_0}（M+m）g}}$
又设物块从板的左端运动到右端的时间为t₃则$v{t_2}-\frac{v}{2}{t_2}=L$，
得：${t_2}=\frac{2L}{v}$
解得：${μ_0}=\frac{{M{v^2}}}{2（M+m）gL}=0.04$．
所以为了使物块能到达板的右端，板与桌面间的摩擦因数μ₂≥0.04
答：（1）物块与板间的动摩擦因数为0.4．
（2）板与桌面的动摩擦因数μ₂的范围为μ₂≥0.04．

点评 分析求出物体运动过程、应用牛顿第二定律、运动学公式的公式即可正确解题．难度中等．