题目内容

如图所示，A为位于一定高度处的质量为m、带电荷量为+q的小球，B为位于水平地面上的质量为M的用特殊材料制成的长方形空心盒子，且M=2m，盒子与地面间的动摩擦因数μ=0.2，盒内存在着竖直向上的匀强电场，场强大小E=2mg/q，盒外没有电场．盒子的上表面开有一系列略大于小球的小孔，孔间距满足一定的关系，使得小球进出盒子的过程中始终不与盒子接触．当小球A以1m/s的速度从孔1进入盒子的瞬间，盒子B恰以v₁=6m/s的初速度向右滑行．已知盒子通过电场对小球施加的作用力与小球通过电场对盒子施加的作用力大小相等、方向相反．设盒子足够长，取重力加速度g=10m/s²，小球恰能顺次从各个小孔进出盒子．

试求：
（1）小球A从第一次进入盒子到第二次进入盒子所经历的时间；
（2）盒子上至少要开多少个小孔，才能保证小球始终不与盒子接触；
（3）从小球第一次进入盒子至盒子停止运动的过程中，盒子通过的总路程．

解：（1）A在盒子内运动时，qE-mg=ma E= $\text{[math]}$ 由以上两式得　　a=g
A在盒子内运动的时间 $\text{[math]}$ =0.2s，A在盒子外运动的时间 $\text{[math]}$
所以A从第一次进入盒子到第二次进入盒子的时间 T=t₁+t₂=0.4s
（2）小球在盒子内运动时，盒子的加速度 $\text{[math]}$
小球在盒子外运动时，盒子的加速度 $\text{[math]}$
小球运动一个周期盒子减少的速度为△v=a₁t₁+a₂t₂=4×0.2+2×0.2=1.2m/s
从小球第一次进入盒子到盒子停下，小球运动的周期数为 $\text{[math]}$
故要保证小球始终不与盒子相碰，盒子上的小孔数至少为2n+1个，即11个．
（3）小球第一次在盒内运动的过程中，盒子前进的距离为 $\text{[math]}$
小球第一次从盒子出来时，盒子的速度v₂=v₁-a₁t₁=5.2m/s
小球第一次在盒外运动的过程中，盒子前进的距离为 $\text{[math]}$
小球第二次进入盒子时，盒子的速度v₃=v₂-a₂t₂=4.8m/s
小球第二次在盒子内运动的过程中，盒子前进的距离为 $\text{[math]}$
小球第二次从盒子出来时，盒子的速度v₄=v₃-a₁t₁=4m/s
小球第二次在盒外运动的过程中，盒子前进的距离为 $\text{[math]}$
…
分析上述各组数据可知，盒子在每个周期内通过的距离为一等差数列，公差d=0.12m．且当盒子停下时，小球恰要进入盒内，最后0.2s内盒子通过的路程为0.04m．
所以从小球第一次进入盒子至盒子停止运动的过程中，盒子通过的总路程为 $\text{[math]}$ ．
答：（1）小球A从第一次进入盒子到第二次进入盒子所经历的时间为0.4s；
（2）盒子上至少要开11个小孔，才能保证小球始终不与盒子接触；
（3）从小球第一次进入盒子至盒子停止运动的过程中，盒子通过的总路程为5.8m．
分析：（1）小球A从第一次进入盒子到第二次进入盒子所经历的时间分为两部分，A在盒子内运动时运动牛顿第二定律求出加速度，再用运动学基本公式求出时间，A在盒子外运动的时间根据运动学基本公式即可求得，时间之和即为经历的总时间；
（2）分别求出小球在盒内和盒外时的盒子的加速度，进而求出小球运动一个周期盒子减少的速度，再求出从小球第一次进入盒子到盒子停下，小球运动的周期数n，要保证小球始终不与盒子相碰，盒子上的小孔数至少为2n+1个；
（3）分别求出盒子在每个周期内通过的距离，观察数据得特点，且当盒子停下时，小球恰要进入盒内，从而求出总位移．
点评：该题是较为复杂的往复运动，要求同学们能正确分析每个过程的受力情况，求出加速度、时间和位移，还要善于观察数据，总结数据之间的规律，要求较高，难度很大，属于难题．