题目内容
(2007?苏州二模)一玩具“火箭”由箭头和箭身两部分和一短而硬(即劲度系数很大)的轻质弹簧构成.已知箭头的质量为m,箭身的质量为2m,弹簧夹在箭头与箭身之间,与二者接触而不连接.让箭头、箭身压紧弹簧,并将它们锁定,此时弹簧的弹性势能为已知的定值E0,通过遥控可解除锁定,设这一释放过程的时间极短,且无机械能损失.
第I种方案:让玩具悬空在一枯井的井口并处于静止状态时解除锁定,从而使箭头升空.
第Ⅱ种方案:让玩具在井口处从静止开始自由下落,撞击井底(井足够深)后以原速率反弹,反弹后当玩具竖直向上运动到离井口深度为某值h时解除锁定.已知在上述过程中箭头始终在上方,求
(1)在第I种方案中,箭头升空到达的最大高度(从井口算起)H1;
(2)在第Ⅱ种方案中,欲使解除锁定前、后箭头动能的增量不小于弹簧的弹性势能E0,求解除锁定时箭头离井口深度h的取值范围.
第I种方案:让玩具悬空在一枯井的井口并处于静止状态时解除锁定,从而使箭头升空.
第Ⅱ种方案:让玩具在井口处从静止开始自由下落,撞击井底(井足够深)后以原速率反弹,反弹后当玩具竖直向上运动到离井口深度为某值h时解除锁定.已知在上述过程中箭头始终在上方,求
(1)在第I种方案中,箭头升空到达的最大高度(从井口算起)H1;
(2)在第Ⅱ种方案中,欲使解除锁定前、后箭头动能的增量不小于弹簧的弹性势能E0,求解除锁定时箭头离井口深度h的取值范围.
分析:(1)在第I种方案中,解除锁定时,箭头、箭身、弹簧组成的系统动量守恒、机械能守恒,根据两大守恒定律列式求出弹簧刚伸长至原长的时刻,设箭头速度的大小为弹簧恢复原长后箭头和箭身的速度大小,再对箭头,根据机械能守恒定律求最大高度H1;
(2)在第Ⅱ种方案中,玩具先自由下落,由机械能守恒列式求出到井底前瞬间的速度大小,即为反弹后的速度大小.解除锁定过程,同样根据系统动量守恒、机械能守恒列式求出深度h的取值范围.
(2)在第Ⅱ种方案中,玩具先自由下落,由机械能守恒列式求出到井底前瞬间的速度大小,即为反弹后的速度大小.解除锁定过程,同样根据系统动量守恒、机械能守恒列式求出深度h的取值范围.
解答:解:(1)在弹簧刚伸长至原长的时刻,设箭头速度的大小为v1、方向向上,箭身速度的大小为v2,方向向下,根据系统动量守恒,则有
mv1-2mv2=0 ①
根据机械能守恒有
m
+
(2m)
=E0 ②
解①、②两式,得
v1=
③
设箭头升空到达的最高点到井口的距离为H1,则
H1=
④
联立解得:H1=
⑤
(2)在玩具自井底反弹向上运动至离井口的深度为h时,解除锁定前玩具向上的速度为
u=
⑥
设解除锁定后,弹簧刚伸长至原长时,箭头速度的大小为v1′、方向向上,箭身速度的大小为v2′,方向向下,则有
mv1′-2mv2′=3mu ⑦
mv1′2+
(2m)v2′2=
(3m)u2+E0 ⑧
对于箭头:据题意知解除锁定前、后其动能的增量应满足关系式
mv1′2+
mu2≥E0 ⑨
联立⑥⑦⑧⑨式解得,h的取值范围为 h≥
答:
(1)在第I种方案中,箭头升空到达的最大高度(从井口算起)H1为
.
(2)在第Ⅱ种方案中,欲使解除锁定前、后箭头动能的增量不小于弹簧的弹性势能E0,解除锁定时箭头离井口深度h的取值范围为 h≥
.
mv1-2mv2=0 ①
根据机械能守恒有
1 |
2 |
v | 2 1 |
1 |
2 |
v | 2 2 |
解①、②两式,得
v1=
|
设箭头升空到达的最高点到井口的距离为H1,则
H1=
| ||
2g |
联立解得:H1=
2E0 |
3mg |
(2)在玩具自井底反弹向上运动至离井口的深度为h时,解除锁定前玩具向上的速度为
u=
2gh |
设解除锁定后,弹簧刚伸长至原长时,箭头速度的大小为v1′、方向向上,箭身速度的大小为v2′,方向向下,则有
mv1′-2mv2′=3mu ⑦
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
对于箭头:据题意知解除锁定前、后其动能的增量应满足关系式
1 |
2 |
1 |
2 |
联立⑥⑦⑧⑨式解得,h的取值范围为 h≥
E0 |
24mg |
答:
(1)在第I种方案中,箭头升空到达的最大高度(从井口算起)H1为
2E0 |
3mg |
(2)在第Ⅱ种方案中,欲使解除锁定前、后箭头动能的增量不小于弹簧的弹性势能E0,解除锁定时箭头离井口深度h的取值范围为 h≥
E0 |
24mg |
点评:本题要抓住解锁过程,系统的动量守恒和机械能守恒,按程序法进行分析,加以讨论分析,即可正确解答.
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